Intégration

Text

utiliser

Continuité uniforme

Rappel

La continuité est une propriéte locale pour une fonction

\(f\) est continue sur un intervalle \(I\)

\(\iff\)

\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)

\(\iff\)

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-x_0\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid \leqslant \varepsilon

\forall x_0 \in I,

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon

\forall y \in I,

\(\iff\)

\(\eta \) dépend de \(x\) et de \(\varepsilon\)

Continuité uniforme

Nouveau

La continuité uniforme est une propriéte globale pour une fonction

\(\iff\)

\(\eta \) ne dépend que de \(\varepsilon\)

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon

Continuité uniforme

Exemple :
la fonction carré est continue sur \(\mathbb{R}\)
mais n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)

Remarque :

Il existe des fonctions continues sur un intervalle qui ne sont pas uniformement continue sur cet intervalle

Soit \(f:x \mapsto x^2\)

)

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall (x,y) \in\mathbb{R}^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon

Objectif :Montrons que :
\(f\) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)

\( \iff \) non (

\exists \varepsilon >0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in\mathbb{R}^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \text{ et } \mid f(x)-f(y)\mid >\varepsilon

\( \iff \)

Soit \(\varepsilon=1\).
\(\forall \eta>0\) .

\text{ on a : } \mid x-y\mid=\frac{\eta}{2} \leqslant \eta \\ \text{ mais } \mid f(x)-f(y)\mid = \mid x^2-y^2\mid =\frac{\eta}{2} \left(\frac{2}{\eta}+\frac{\eta}{2}\right) =1+\frac{\eta^2}{4}> \varepsilon

\text{Soit } (x,y)=\left( \dfrac{1}{\eta}, \dfrac{1}{\eta}+\dfrac{\eta}{2} \right)

Continuité uniforme

1.Soit I un intervalle de \(\mathbb{R}\).

Soit \(x_0 \in I\).
Soit \(f\) une fonction uniformement continue sur \(I\)

Montrons que \(f\) est continue en \(x_0\)

Soit \(\varepsilon >0 \).

\(f\) étant uniformément continue sur \(I\).

\exists \eta >0, \forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon

\exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-x_0\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid \leqslant \varepsilon

En particulier,

Autrement dit, \(f\) est continue en \(x_0\)

Continuité uniforme

2.Soit I un intervalle de \(\mathbb{R}\).

Soit \(x_0 \in I\).
Soit \(f\) une fonction lipschitzienne sur \(I\)

Montrons que \(f\) est uniformément continue sur \( I\)

Soit \(\varepsilon >0 \).

\(f\) étant lipschitzienne sur \(I\)

\exists k \geqslant 0, \forall (x,y) \in I^2, \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant k \mid x-y\mid

Autrement dit, \(f\) est uniformément continue sur \( I\)

\text{ Soit } \eta =\dfrac{\varepsilon}{k+1}>0 \text{; ainsi } k\eta =\dfrac{k\varepsilon}{k+1}<\varepsilon

\forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant k \mid x-y\mid \leqslant k \eta \leqslant \varepsilon

Continuité uniforme

Soit I =[a,b] un intervalle fermé borné de \(\mathbb{R}\).

Soit \(f\) une fonction continue sur [a,b]

Montrons que \(f\) est uniformément continue sur [a,b]

Raisonnement par l'absurde

Supposons \(f\) n'est pas uniformément continue sur [a,b]

\exists \varepsilon >0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in[a,b]^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \text{ et } \mid f(x)-f(y)\mid >\varepsilon

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon

En particulier :

Continuité uniforme

Avec le théorème de Bolzano -Weierstrass,
on pourra extraire simultanément(*)
deux suites convergentes dans [a,b]
\((x_{\phi(n)})_n\)et \((y_{\phi(n)})_n\)

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon

\text{Soit } \ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}

\text{Soit } \ell_y=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}

Continuité uniforme

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon

\ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}

\ell_y=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}

\forall n\in \mathbb{N^*}, \mid x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)} \mid \leqslant \frac{1}{\phi(n)} \leqslant \frac{1}{n}

On fait \(n\) tendre vers \(+\infty \) :

0 \leqslant \mid \ell_x -\ell_y\mid \leqslant 0

\text{ donc } \ell_x=\ell_y

Continuité uniforme

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon

\ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}= \ell_y

\(f\) étant continue sur \( I \):

0 \geqslant \varepsilon

f(\ell_x)=\lim\limits_{n} f(x_{\phi(n)})=\lim\limits_{n} f(y_{\phi(n)})= f(\ell_y)

\forall n\in \mathbb{N^*}, \mid f(x_{\phi(n)})-f(y_{\phi(n)}) \mid >\varepsilon

On fait \(n\) tendre vers \(+\infty \) :

\mid f(\ell_x)-f(\ell_y) \mid \geqslant \varepsilon

Contradiction !!!!

Continuité uniforme

Intégrale d'une fonction en escalier

Cas particulier

Intégrale d'une fonction en escalier

Notation avec les fonctions indicatrices

f(x)=\left\{\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} c_i \mathbb{1}_{]x_i,x_{i+1}[} (x)& \textit{ si } x\in [a,b]\setminus\{x_i\}_{ 0 \leqslant i \leqslant n} \\ f(x_i) & \textit{ si } x\in \{x_i\}_{ 0 \leqslant i \leqslant n} \end{aligned}\right.

Exemple connu de fonction en escalier

Intégrale d'une fonction en escalier

[a,b]=[-5,1]

\(\sigma_f=\{ -5;-4,-1;1\}\)

Intégrale d'une fonction en escalier

[a,b]=[-5,1]

\(\sigma_f=\{ -5;-4;-3;-1;0;1\}\)

Text

Ajout

Intégrale d'une fonction en escalier

[a,b]=[-5,1]

\(\sigma_f=\{ -5;-4,-1;1\}\)

\(\sigma_g=\{ -5;-2;1\}\)

\sigma_f\cup\sigma_g=\{ -5;-4;-2;-1;1\}

Intégrale d'une fonction en escalier

\text{Car constantes par morceaux au regard de la subdivision}\\ \sigma_f\cup\sigma_g

Intégrale d'une fonction en escalier

\text{Car constantes }\\ \text{par morceaux }\\ \text {au regard de la subdivision}\\ \sigma_f\cup\sigma_g

Intégrale d'une fonction en escalier

Soit \(\sigma_1=\{x_i\}_{0\leqslant i \leqslant n}\)

Indépendance de la subdivison

Soit \(\sigma_2=\{x'_i\}_{0\leqslant i \leqslant n}\)

Deux subdivisons adaptées de \(f\)

\text{On pose } I_{\sigma_1}=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)

\text{ et } I_{\sigma_2}=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x'_{i+1}-x'_i)

\text{ montrons que : } I_{\sigma_1}=I_{\sigma_2}

Intégrale d'une fonction en escalier

Il existe \(i_0 \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket \) tel que : \( x_{i_0} < y < x_{i_0+1}\)

Soit \( y \in [a,b]\) tel que \( y\notin \sigma_1\)

Soit \(\tilde{\sigma}=\sigma_1\cup \{y\}\)

\(x_0\)

\(x_n\)

\(x_{i_0+1}\)

\(x_{i_0}\)

\(y\)

\(x_{1}\)

Intégrale d'une fonction en escalier

1er bilan: \( I_{\sigma_1} \) reste inchangé si on lui ajoute un élément supplémentaire .

De proche en proche, on montre par ajout successif que \( I_{\sigma_1} =I_{\sigma_1 \cup \sigma_2} \)

\(x_0\)

\(x_n\)

\(x_{i_0+1}\)

\(x_{i_0}\)

\(y\)

\(x_{1}\)

\text{On pose } I_{\tilde{\sigma}}=\sum_{i=0}^{i_0-1} y_i(x_{i+1}-x_i)+y_{i_0}(y-x_{i_0})+y_{i_0}(x_{i_0+1}-y)+\sum_{i=i_0+1}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)

=\sum_{i=0}^{i_0-1} y_i(x_{i+1}-x_i)+y_{i_0}(x_{i_0+1}-x_{i_0})+\sum_{i=i_0+1}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)

=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)

= I_{\sigma_1}

2ème bilan: De façon analogue , on montre que \( I_{\sigma_2} =I_{\sigma_2 \cup \sigma_1} \)

Conclusion :
on montre que \( I_{\sigma_1} =I_{\sigma_2} \)

Intégrale d'une fonction en escalier

1. On utilise \(\sigma =\sigma_f\cup \sigma_g =\{a_i\}_{0\leqslant i \leqslant n-1}\) une subdivision adaptée à \(f\) et \(g\)

2. On utilise l'inégalité triangulaire discrète :

\left \vert \sum_{i=0}^{n-1} z_i \right \vert \leqslant \sum_{i=0}^{n-1} \mid z_i \mid

3. On utilise la relation :

\sum_{i=0}^{m} z_i + \sum_{i=m+1}^{n} z_i = \sum_{i=0}^{n} z_i

4. On utilise la relation 1.

Intégrale d'une fonction en escalier

Car c'est une somme de termes positifs
On applique le 1. à la fonction positive \(x\mapsto g(x)-f(x)\) et on utilise la linéarité de l'intégrale

Fonction continue par morceaux

La fonction

x\mapsto \left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{x}&\textit{ si } x\neq 0 \\ 0 & \textit{ si } x =0 \end{aligned}\right.

est-elle continue par morceaux ?

Fonction continue par morceaux

Existence de la norme infinie

\sup(A \cup B)=\max(\sup(A);\sup(B))

\bullet ~ \text{Propriété 1: Soient A et B deux sous-ensembles non vides et majorés de } \mathbb{R}.\\\text{leur réunion est majorée et }

\bullet ~ \text{Propriété 2(Généralisation): Soit} (A_i)_{i\in \llbracket 1;n \rrbracket } ~~\text{une famille de } n ~~\text{sous-ensemble non vides et majorées de }\mathbb{R}\\ \text{leur réunion est majorée et }

\sup(\bigcup_{i=1}^n A_i )=\max\limits_{i\in \llbracket 1;n \rrbracket }(A_i)

Si \(f\) est continue par morceaux, il existe une subdivision \( (x_i)_{i\in \llbracket 1;n\rrbracket} \) telle que \(f\) est prolongeable par continuité sur \([x_i;x_{i+1}]\) .\\
Pour justifier l'existence de la norme infinie en appliquant la propriété 2 et le théorème des bornes atteintes de Weierstrass avec :

A_i =f([x_i;x_{i+1}])

Fonction continue par morceaux

(détaillé en classe)

Fonction continue par morceaux

Remarque: Lorsque \(f\) est continue par morceaux , on applique le résultat démontré sur chaque segment \([x_i;x_{i+1}]\) puis on prolonge sur [a,b] chaque fonction \(\phi_p\)en escalier

\phi_p(x) = \left\{\begin{array}{cl} f(a) & \text { si } x=a \\ f(x_{i+1}) & \text { si } x \in ]x_i;x_{i+1}] \end{array}\right.

Soit \( (x_i)_{i\in \llbracket 1;p\rrbracket} \) une subdivision de [a;b ]adaptée à \(f\).
On définit :

Eléments de la preuve

Prouvé en classe pour \(f\) continue sur [a,b]

On a montré que : \( \lim\limits_{p} \Vert f-\phi_p\Vert _{\infty}=0\)

Grace au théorème de Heine sur
les segments \( [x_i;x_{i+1}] \).

Fonction continue par morceaux

\text {Interprétation: \\ L'ensemble des fonctions en escalier sur }[a, b] \text { à valeurs dans } \mathbb{K} \\ \text { est dense dans } \mathcal{C}_m([a, b], \mathbb{K}) \text {. }

Prouvé en classe pour \(f\) continue sur [a,b]

Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Problématique

Fonction continue par morceaux

animation

\text {Les 2 suites } \left(\int_{[a, b]} \mathcal{s}_n \right)_n \text {~~et~~ }\left(\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right)_n \text{ sont ADJACENTES}

On choisit une subdivision régulière de [a;b] \( (x_i)_{i\in \llbracket 1;n\rrbracket} \) ainsi :\( x_{i+1}-x_i=\dfrac{b-a}{n}\)

\int_{[a, b]} (\phi_p ) =\sum_{i=0}^{p-1}(x_{i+1}-x_i) y_{p,i}=\frac{b-a}{p}\sum_{i=0}^{p-1} f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

Etape1 : On considère Les suites de fonctions en escaliers \((\mathcal{s}_n)_n\in\N^*\) et \((\mathcal{S}_n)_n\in\N^*\) définies par:

\mathcal{s}_n(x) = \left\{\begin{array}{cl} f(a) & \text { si } x=a \\ m_i & \text { si } x \in ]x_i;x_{i+1}] \end{array}\right.

\mathcal{S}_n(x) = \left\{\begin{array}{cl} f(a) & \text { si } x=a \\ M_i & \text { si } x \in ]x_i;x_{i+1}] \end{array}\right.

Où \(M_i\) (resp. \(m_i\))est la borne supérieure (resp. inférieure) de \(f\) sur \([x_i;x_{i+1}]\)

Ces deux suites de On considère Les suites de fonctions en escaliers \((\mathcal{s}_n)_n\in\N^*\) et \((\mathcal{S}_n)_n\in\N^*\) définies par:

On les nomme "sommes de Darboux "

\text {Les 2 suites } \left(\int_{[a, b]} \mathcal{s}_n \right)_n \text {~~et~~ }\left(\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right)_n \text{ convergent donc}\\ \text{ vers une même limite réelle~} \ell_f

\int_{[a, b]} (\phi_p ) =\sum_{i=0}^{p-1}(x_{i+1}-x_i) y_{p,i}=\frac{b-a}{p}\sum_{i=0}^{p-1} f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

Etape 2 : On démontre la convergence vers \(\ell_f\) de

\int_{[a, b]} \phi_n =\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \phi_n\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

\left( \int_{[a, b]} \phi_n \right)_n

\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n =\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} M_i

\left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right \vert = \left \vert \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \phi_n\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) -M_i\right \vert

\int_{[a, b]} (\phi_p ) =\sum_{i=0}^{p-1}(x_{i+1}-x_i) y_{p,i}=\frac{b-a}{p}\sum_{i=0}^{p-1} f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

\left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right \vert

\leqslant \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert \phi_n\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - M_i\right \vert

\leqslant \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert (\phi_n-f)\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) \right \vert + \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - f\left(c_i\right) \right \vert

= \left \vert \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \phi_n\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} M_i\right \vert

Pour tout entier naturel \(n\) non nul,

inégalité triangulaire

\leqslant \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \Vert \phi_n\ - f\right \Vert_{\infty} + \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - f\left(c_i\right) \right \vert

\leqslant \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert \phi_n\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)\right \vert + \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - M_i \right \vert

Théorème des Bornes atteintes

\int_{[a, b]} (\phi_p ) =\sum_{i=0}^{p-1}(x_{i+1}-x_i) y_{p,i}=\frac{b-a}{p}\sum_{i=0}^{p-1} f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

\left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right \vert

Pour tout entier naturel \(n\) non nul,

\leqslant \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \Vert \phi_n\ - f\right \Vert_{\infty} + \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - f\left(c_i\right) \right \vert

\leqslant (b-a)\left \Vert \phi_n\ - f\right \Vert_{\infty} + \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - f\left(c_i\right) \right \vert

(1)

De plus, pour tout

i \in \llbracket 1,n-1\rrbracket

\left \vert \frac{x_{i}+x_{i+1}}{2} - c_i \right \vert \leqslant \frac{b-a}{n}

(2)

\int_{[a, b]} (\phi_p ) =\sum_{i=0}^{p-1}(x_{i+1}-x_i) y_{p,i}=\frac{b-a}{p}\sum_{i=0}^{p-1} f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

\left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right \vert

Pour tout entier naturel \(n\) non nul,

\leqslant (b-a)\left \Vert \phi_n\ - f\right \Vert_{\infty} + \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \left \vert f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right) - f\left(c_i\right) \right \vert

Soit \(\varepsilon >0\).

f est continue par prolongement sur chaque \( [x_i;x_{i+1}] \).

donc f est uniformement continue sur chaque \( [x_i;x_{i+1}] \).

Théorème de
Heine

\exists \eta_i >0, \forall (x,y) \in [x_i;x_{i+1}]^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta_i\Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}

\text{On considère }\eta=\min\limits_{i\in \llbracket 1;n-1 \rrbracket }(\eta_i)

\exists N_0 \in \mathbb{N} , \forall n \geqslant N_0 ,\Vert \phi_n-f \Vert_{\infty} \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}

Hypothèse de convergence uniforme vers f

continuité uniforme

(3)

(4)

(1)

\left \vert \frac{x_{i}+x_{i+1}}{2} - c_i \right \vert \leqslant \frac{b-a}{n}

(2)

\int_{[a, b]} (\phi_p ) =\sum_{i=0}^{p-1}(x_{i+1}-x_i) y_{p,i}=\frac{b-a}{p}\sum_{i=0}^{p-1} f\left(\frac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\right)

On choisit \(N_1=\max(N_0,\dfrac{b-a}{\eta})\).

d'après (1),(2), (3) et (4) on a:

Ainsi, pour tout entier naturel \(n \geqslant N_1\) on a :
\(n \geqslant N_0\) et \(n \geqslant \dfrac{b-a}{\eta} \iff \dfrac{b-a}{n}\leqslant \eta \)

Pour tout entier naturel \(n \geqslant N_1\)

Conclusion:

\text{Pour tout } n \in \N , \left \vert \int_{[a, b]} \phi_n - \ell_f \right \vert \leqslant \left \vert \int_{[a, b]} \phi_n - \int_{[a, b]} \mathcal{S}_f \right \vert +\left \vert \int_{[a, b]} \mathcal{S}_f - \ell_f \right \vert

\left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right \vert \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}

\lim\limits_n \left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\int_{[a, b]} \mathcal{S}_n \right \vert =0

\text{Donc~~~}\lim\limits_n \left \vert \int_{[a, b]} \phi_n -\ell_f\right \vert =0

\( \lim\limits_{p} \Vert f-\phi_p\Vert_{\infty}=0\)

On a vue que la limite \(\ell_f\) dépend des sommes de Darboux qui ne dépendent QUE de \(f\)

Fonction continue par morceaux

(x+iy)\int_a^b \mathrm{e}^{(x+\mathrm{i} y) t} \mathrm{~d} t=\left[\frac{1}{x+\mathrm{i} y} \mathrm{e}^{(x+\mathrm{i} y) t}\right]_a^b

=(x+iy)\int_a^b \left(~~ \mathrm{e}^{xt} \cos(yt) + i \mathrm{e}^{xt} \sin(yt) ~~\right)\mathrm{~d} t

=(x+iy)\int_a^b \mathrm{e}^{xt} \cos(yt) \mathrm{~d} t + i (x+iy) \int_a^b \mathrm{e}^{xt} \sin(yt) \mathrm{~d} t

=x\int_a^b \mathrm{e}^{xt} \cos(yt) \mathrm{~d} t + iy\int_a^b \mathrm{e}^{xt} \cos(yt) \mathrm{~d} t + i x \int_a^b \mathrm{e}^{xt} \sin(yt) \mathrm{~d} t -y \int_a^b \mathrm{e}^{xt} \sin(yt) \mathrm{~d} t

=\int_a^b \dfrac{d}{dt}(\mathrm{e}^{xt}) \cos(yt) \mathrm{~d} t + i\int_a^b \mathrm{e}^{xt} \dfrac{d}{dt}(\sin(yt)) \mathrm{~d} t + i \int_a^b \dfrac{d}{dt}(\mathrm{e}^{xt}) \sin(yt) \mathrm{~d} t + \int_a^b \mathrm{e}^{xt} \dfrac{d}{dt}(\cos(yt)) \mathrm{~d} t

=\left[\mathrm{e}^{(x+\mathrm{i} y) t}\right]_a^b

= \left[ \mathrm{e}^{xt} \cos(yt)\right]_a^b - \int_a^b \mathrm{e}^{xt} \dfrac{d}{dt}(\cos(yt)) \mathrm{~d} t + i \left[ \mathrm{e}^{xt} \sin(yt)\right]_a^b -i\int_a^b \dfrac{d}{dt}(\mathrm{e}^{xt}) \sin(yt) \mathrm{~d} t \\+ i \int_a^b \dfrac{d}{dt}(\mathrm{e}^{xt}) \sin(yt) \mathrm{~d} t + \int_a^b \mathrm{e}^{xt} \dfrac{d}{dt}(\cos(yt)) \mathrm{~d} t

= \left[ \mathrm{e}^{xt} \cos(yt)\right]_a^b + i \left[ \mathrm{e}^{xt} \sin(yt)\right]_a^b

= \left[ \mathrm{e}^{xt} \cos(yt) + i \mathrm{e}^{xt} \sin(yt)\right]_a^b

voir TD

Fonction continue par morceaux

voir TD

Fonction continue par morceaux

Théorèmes de la moyenne

généralisé en TD

Limite d'intégrales

Intégration et dérivation

Théoreme fondamental de l'analyse

Le théorème fondamental de l'analyse montre que :
les fonctions définies par des intégrales de la forme \(x \mapsto \int_a^x f(t) \mathrm{d} t\)
sont dérivables (et même de dérivée continue).

Théoreme fondamental de l'analyse

Intégration par parties

Changement de variables

De plus si \(\varphi\) est une bijection de I sur J.

\forall (c,d)\in J^2, \int_{c}^{d} f(x) \mathrm{d} x =\int_{\varphi^{-1}(c)}^{\varphi^{-1}(d)} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t

Changement de variables

\text { Déterminer } \int_{\frac{\pi^2}{4}}^{\pi^2} \cos (\sqrt{x}) \mathrm{d} x

\text {Déterminer les primitives de } x \mapsto \cos (\sqrt{x}) \text { sur } ] 0,+\infty[

Exemple:

Parité et périodicité

Approximation par les sommes de Rieman