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Continuité uniforme

Rappel

La continuité est une propriéte locale pour une fonction

\(f\) est continue sur un intervalle  \(I\) 

\(\iff\)

\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)

\(\iff\)

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-x_0\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid \leqslant \varepsilon
\forall x_0 \in I,
\forall x_0 \in I,
\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon
\forall y \in I,

\(\iff\)

\(\eta \) dépend de  \(x\) et de   \(\varepsilon\)

Continuité uniforme

Nouveau

La continuité uniforme  est une propriéte globale pour une fonction

\(\iff\)

\(\eta \) ne  dépend  que de   \(\varepsilon\)

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon

Continuité uniforme

Exemple :
la fonction carré est continue sur \(\mathbb{R}\)
mais n'est pas uniformément   continue sur \(\mathbb{R}\)

Remarque :

Il existe des fonctions continues sur un intervalle qui ne sont pas uniformement continue sur cet intervalle

Soit \(f:x \mapsto  x^2\)

)

\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall (x,y) \in\mathbb{R}^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon

Objectif :Montrons que :
\(f\) n'est pas uniformément   continue sur \(\mathbb{R}\)

\( \iff \)  non (

\exists \varepsilon >0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in\mathbb{R}^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \text{ et } \mid f(x)-f(y)\mid >\varepsilon

\( \iff \)  

Soit \(\varepsilon=1\).
\(\forall \eta>0\) .
 

\text{ on a : } \mid x-y\mid=\frac{\eta}{2} \leqslant \eta \\ \text{ mais } \mid f(x)-f(y)\mid = \mid x^2-y^2\mid =\frac{\eta}{2} \left(\frac{2}{\eta}+\frac{\eta}{2}\right) =1+\frac{\eta^2}{4}> \varepsilon
\text{Soit } (x,y)=\left( \dfrac{1}{\eta}, \dfrac{1}{\eta}+\dfrac{\eta}{2} \right)

Continuité uniforme

1.Soit I un intervalle  de \(\mathbb{R}\).

Soit \(x_0 \in I\).
Soit \(f\) une fonction uniformement continue sur \(I\)

Montrons que \(f\) est  continue en  \(x_0\)

Soit \(\varepsilon >0 \).

\(f\) étant uniformément  continue sur \(I\).

\exists \eta >0, \forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon
\exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-x_0\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid \leqslant \varepsilon

En particulier,

Autrement dit,  \(f\) est  continue en  \(x_0\)

Continuité uniforme

2.Soit I un intervalle  de \(\mathbb{R}\).

Soit \(x_0 \in I\).
Soit \(f\) une fonction lipschitzienne sur \(I\)

Montrons que \(f\) est  uniformément continue  sur  \( I\)

Soit \(\varepsilon >0 \).

\(f\) étant lipschitzienne sur \(I\) 

\exists k \geqslant 0, \forall (x,y) \in I^2, \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant k \mid x-y\mid

Autrement dit,  \(f\) est  uniformément continue  sur  \( I\)

\text{ Soit } \eta =\dfrac{\varepsilon}{k+1}>0 \text{; ainsi } k\eta =\dfrac{k\varepsilon}{k+1}<\varepsilon
\forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant k \mid x-y\mid \leqslant k \eta \leqslant \varepsilon

Continuité uniforme

Soit I =[a,b] un intervalle fermé borné  de \(\mathbb{R}\).

Soit \(f\) une fonction  continue sur [a,b]

Montrons que \(f\) est  uniformément continue  sur  [a,b]

Raisonnement par l'absurde

Supposons  \(f\)  n'est pas  uniformément continue  sur  [a,b]

\exists \varepsilon >0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in[a,b]^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \text{ et } \mid f(x)-f(y)\mid >\varepsilon
\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon

En particulier :

Continuité uniforme

D'après le théorème de Bolzano -Weierstrass,
on peut extraire simultanément(*)
deux suites convergentes dans [a,b]
  \((x_{\phi(n)})_n\)et  \((y_{\phi(n)})_n\)

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
\text{Soit } \ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}
\text{Soit } \ell_y=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}

Continuité uniforme

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
\ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}
\ell_y=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}
\forall n\in \mathbb{N^*}, \mid x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)} \mid \leqslant \frac{1}{\phi(n)} \leqslant \frac{1}{n}

On fait \(n\) tendre vers \(+\infty \) :

0 \leqslant \mid \ell_x -\ell_y\mid \leqslant 0
\text{ donc } \ell_x=\ell_y

Continuité uniforme

\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
\ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}= \ell_y

\(f\) étant continue sur \( I \):
 

0 \geqslant \varepsilon
f(\ell_x)=\lim\limits_{n} f(x_{\phi(n)})=\lim\limits_{n} f(y_{\phi(n)})= f(\ell_y)
\forall n\in \mathbb{N^*}, \mid f(x_{\phi(n)})-f(y_{\phi(n)}) \mid >\varepsilon

On fait \(n\) tendre vers \(+\infty \) :

\mid f(\ell_x)-f(\ell_y) \mid \geqslant \varepsilon

Contradiction !!!!

Continuité uniforme

Intégrale d'une fonction en escalier

Cas particulier

Intégrale d'une fonction en escalier

Intégrale d'une fonction en escalier

Notation avec les fonctions indicatrices

f(x)=\left\{\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} c_i \mathbb{1}_{]x_i,x_{i+1}[} (x)& \textit{ si } x\in [a,b]\setminus\{x_i\}_{ 0 \leqslant i \leqslant n} \\ f(x_i) & \textit{ si } x\in \{x_i\}_{ 0 \leqslant i \leqslant n} \end{aligned}\right.

Exemple connu de fonction en escalier

Intégrale d'une fonction en escalier

Intégrale d'une fonction en escalier

[a,b]=[-5,1]

\(\sigma_f=\{ -5;-4,-1;1\}\)

Intégrale d'une fonction en escalier

[a,b]=[-5,1]

\(\sigma_f=\{ -5;-4;-3;-1;0;1\}\)

Text

Ajout

Intégrale d'une fonction en escalier

[a,b]=[-5,1]

\(\sigma_f=\{ -5;-4,-1;1\}\)

\(\sigma_g=\{ -5;-2;1\}\)

\sigma_f\cup\sigma_g=\{ -5;-4;-2;-1;1\}

Intégrale d'une fonction en escalier

\text{Car constantes par morceaux au regard de la subdivision}\\ \sigma_f\cup\sigma_g

Intégrale d'une fonction en escalier

\text{Car constantes }\\ \text{par morceaux }\\ \text {au regard de la subdivision}\\ \sigma_f\cup\sigma_g

Intégrale d'une fonction en escalier

Soit \(\sigma_1=\{x_i\}_{0\leqslant i \leqslant n}\)

Indépendance de la subdivison

Soit \(\sigma_2=\{x'_i\}_{0\leqslant i \leqslant n}\)

Deux  subdivisons adaptées de \(f\)

\text{On pose } I_{\sigma_1}=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
\text{ et } I_{\sigma_2}=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x'_{i+1}-x'_i)
\text{ montrons que : } I_{\sigma_1}=I_{\sigma_2}

Intégrale d'une fonction en escalier

Il existe \(i_0 \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket  \) tel que : \( x_{i_0}  <  y < x_{i_0+1}\)

Soit \( y \in [a,b]\) tel que  \( y\notin \sigma_1\)

Soit \(\tilde{\sigma}=\sigma_1\cup \{y\}\)

\(x_0\)

\(x_n\)

\(x_{i_0+1}\)

\(x_{i_0}\)

\(y\)

\(x_{1}\)

Intégrale d'une fonction en escalier

  • 1er bilan:   \( I_{\sigma_1} \)  reste  inchangé si on lui ajoute un élément supplémentaire .

De proche en proche,  on montre  par ajout successif que   \( I_{\sigma_1}  =I_{\sigma_1 \cup \sigma_2} \)

\(x_0\)

\(x_n\)

\(x_{i_0+1}\)

\(x_{i_0}\)

\(y\)

\(x_{1}\)

\text{On pose } I_{\tilde{\sigma}}=\sum_{i=0}^{i_0-1} y_i(x_{i+1}-x_i)+y_{i_0}(y-x_{i_0})+y_{i_0}(x_{i_0+1}-y)+\sum_{i=i_0+1}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
=\sum_{i=0}^{i_0-1} y_i(x_{i+1}-x_i)+y_{i_0}(x_{i_0+1}-x_{i_0})+\sum_{i=i_0+1}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
= I_{\sigma_1}
  • 2ème bilan:   De façon analogue ,  on montre  que   \( I_{\sigma_2}  =I_{\sigma_2 \cup \sigma_1} \)

  Conclusion :
on montre  que   \( I_{\sigma_1}  =I_{\sigma_2} \)

Intégrale d'une fonction en escalier

Intégrale d'une fonction en escalier

1.  On utilise    \(\sigma =\sigma_f\cup \sigma_g =\{a_i\}_{0\leqslant i \leqslant  n-1}\)  une subdivision adaptée à  \(f\) et \(g\)

2.  On utilise  l'inégalité triangulaire discrète  :

\left \vert \sum_{i=0}^{n-1} z_i \right \vert \leqslant \sum_{i=0}^{n-1} \mid z_i \mid

3.  On utilise  la relation :

\sum_{i=0}^{m} z_i + \sum_{i=m+1}^{n} z_i = \sum_{i=0}^{n} z_i

4.  On utilise  la relation  1.

Intégrale d'une fonction en escalier

  1. Car  c'est une somme de termes positifs

     
  2. On applique le 1. à la fonction positive \(x\mapsto g(x)-f(x)\)  et on utilise la linéarité de l'intégrale

 

Fonction continue par morceaux

Fonction continue par morceaux

La fonction 

x\mapsto \left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{x}&\textit{ si } x\neq 0 \\ 0 & \textit{ si } x =0 \end{aligned}\right.

est-elle continue par morceaux ?

Fonction continue par morceaux

Fonction continue par morceaux

Fonction continue par morceaux

Fonction continue par morceaux