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Equations différentielles linéaires

à coefficients constants d'ordre 1 et 2

Exercice 1 :(E1)

Déterminer l'ensemble des solutions définies sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ de : $\begin{aligned} 2y'+7y=0\\ \end{aligned}$

C'est une équation homogène de la forme $ay'+by=0$ avec $a=2$ et $b=7$
On en déduit que l'ensemble des solutions de (E1) est :
$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-\frac{7}{2} x},~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$

Exercice 1 :(E2)

Déterminer l'ensemble des solutions définies sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ de : y'=3y+(3x^2+1)e^{2x}

(E2) est équivalente à : $y'-3y=(3x^2+1)e^{2x}$
Recherche d'une solution particulière $y_p:x \mapsto(Ax^2+Bx+C)e^{2x}$ .
Avec (E2) On trouve: $A=-3$ , $B=-6$ et $C=-7$
L'ensemble des solution est:

$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{3x} -(3x^2+6x+7)e^{2x},~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$

(E2) est équivalente à : $y'+2y=\sin(3x)$
Recherche d'une solution particulière $y_p:x \mapsto A\cos(3x)+B\sin(3x)$ .
Avec (E2) On trouve: $A=-\dfrac{3}{13}$ et $B=\dfrac{2}{13}$
L'ensemble des solutions est:

$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-2x} +\dfrac{1}{13}\left(-3\cos(3x)+2\sin(3x)\right),~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$

Recherche d'une solution particulière $y_1$ de :
$y'+2y=2x$ de la forme
\( y_1:x\mapsto Ax+B \)
On trouve:\(A=1\) et \(B=-\dfrac{1}{2}\)
\(y_1:x\mapsto x-\dfrac{1}{2}\)

Recherche d'une solution particulière $y_2$ de : y'+2y=e^{-2x} de la forme $y_2:x\mapsto P(x)e^{-2x}$ où $P\in\mathbb[X]$ .
On trouve: $P=X$
$y_2:x\mapsto xe^{-2x}$

Par superposition (E4) possède une solution particulière
$y_p=y_1+y_2$
$y_p:x\mapsto x-\dfrac{1}{2}+ xe^{-2x}$ .
L'ensemble des solutions est:

$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-2x} + x-\dfrac{1}{2}+ xe^{-2x} ,~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$

Equations différentielles linéaires. à coefficients constants d'ordre 1 et 2.

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