Preuves
A
B
A=\lbrace a_i , i\in \llbracket 1,n\rrbracket \rbrace
b_m
A\cap B=\varnothing
Cas 1: A et B sont disjoints
On considère que A et B sont non vides
On pose :
n=card(A) et m=card(B)
B=\lbrace b_i , i\in \llbracket 1,m\rrbracket \rbrace
b_2
a_3
a_1
b_1
a_2
a_n
...
...
A\cup B
compte \(n+m\) éléments distincts
Donc :
card(A\cup B)=card(A)+card(B)
Or :
card(A\cap B)=0
Donc :
card(A\cup B)=card(A)+card(B)-card(A\cap B)
A
B
A\cap B\neq \varnothing
Cas 2: A et B ne sont pas disjoints
Or :
card(A\cup B)=card(A\setminus B)+card(B)
A\cup B= (A\setminus B) \cup (A\cap B) \cup (B\setminus A)
Donc :
(A\setminus B) \text{ et } B \text{ sont disjoints}
\text{ Et, } (A\setminus B) \cup B =A\cup B
De plus :
card(A)=card(A\setminus B)+card(A\cap B)
Donc :
(A\setminus B) \text{ et } (A\cap B) \text{ sont disjoints}
\text{ Et, } (A\setminus B) \cup (A\cap B) =A
De (*) et (**), on déduit :
card(A\cup B) =card(A)+card(B)-card(A\cap B)
(*)
(**)
card(A\cup B \cup C )
= card((A\cup B) \cup C )
= card(A\cup B ) +card( C )-card((A\cup B) \cap C )
= card(A)+card(B)- card(A\cap B ) +card( C )-card((A\cup B) \cap C )
= card(A)+card(B)- card(A\cap B ) +card( C )-card( (A \cap C) \cup (B\cap C ) )
= card(A)+card(B)+card( C )- card(A\cap B ) -card( A \cap C) -card( B\cap C )+card( (A \cap C) \cap (B\cap C ) )
= card(A)+card(B)+card( C )- card(A\cap B ) -card( A \cap C) -card( B\cap C )+card( A \cap B \cap C )
Soit E un ensemble fini.
Introduction d'objets mathématiques
E ={a,b,c} de cardinal \(n=3\)
Les sous-ensembles
de E ayant p élèments
Soit \(p\leqslant 3\).
| Les p-uplets de E |
Les permutations de E |
Les arrangements de p éléments de E |
Les combinaisons de p éléments de E |
|---|---|---|---|
|
|
|||
| Les 2-uplets de E sont : (a,a) ,(a,b),(a,c), (b,a) ,(b,b),(b,c), (c,a) ,(c,b),(c,c) Les 3-uplets de E sont les éléments de : |
Les permutations de E sont: (a,b,c),(a,c,b), (b,a,c),(b,c,a), (c,a,b),(c,b,a) |
Les arrangements de 2 éléments de E sont: (a,b),(a,c),(b,a), (b,c),(c,a) ,(c,b) |
Les combinaisons de 2 éléments de E sont: {a,b}{a,c},{b,c} |
|
il y a p-uplets de E |
il y a permutations de E |
il y a arrangements de p éléments de E |
il y a combinaisons de p éléments de E |
Définition
cardinal
Les n-uplets avec des élèments DISTINCTS
Les p-uplets avec des élèments DISTINCTS
\(E^3\)
Eléments de \(E^p\)
\(n^p\)
n!
\dfrac{n!}{p!(n-p)!}
\dfrac{n!}{(n-p)!}