SERIES NUMERIQUES _DEMONSTRATIONS

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TD (éléments de correction)

Démonstration:

S_n=\sum_{k=0}^{n } u_k

Pour tout \(n\in \N\),

u_n+S_{n-1}=u_n+\sum_{k=0}^{n-1 } u_k =+\sum_{k=0}^{n } u_k =S_n

Donc , pour tout \(n\in \N^*\),

Et , pour tout \(n\in \N^*\),

u_n=S_n-S_{n-1}

Démonstration :

Soit \( (S_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (u_n)_{n\in \N} \)

Si la série \( \sum u_n \) converge

alors la suite \( (S_n)_{n\in \N} \) converge vers un réel noté \(S\) ( la somme)

Pour tout \(n\in \N^*\),

u_n=S_n-S_{n-1}

Donc ,

\lim_{n }u_n=S-S=0

La réciproque est fausse:

Contre-exemple:

Soit \( (u_n)_{n\in \N^l*} \) définie par: \(u_n=\frac{1}{n}\)

pourtant, \(\sum u_n \) diverge

\lim_n u_n=0

Preuve de la divergence :

Soit \(n\in \N^*\).

Soit \(k \in \N^*\), \( \forall t\in [k,k+1]\) , on a:

\frac{1}{k+1}\leqslant \frac{1}{t} \leqslant \frac{1}{k}

\text{donc, }\int_k^{k+1} \frac{1}{k+1}dt \leqslant \int_k^{k+1} \frac{1}{t}dt \leqslant \int_k^{k+1} \frac{1}{k} dt

\iff \frac{1}{k+1} \leqslant \int_k^{k+1} \frac{1}{t}dt \leqslant \frac{1}{k}

\text{donc,} \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{t}dt \leqslant \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

\iff \int_1^{n+1} \frac{1}{t}dt \leqslant \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

\iff \left[ \ln (t) \right] _1^{n+1} \leqslant \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

\iff \ln(n+1) \leqslant \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

\lim_n \ln(n+1)=+\infty \text{ donc } \lim_n \sum_{k=1}^n u_k =+\infty \text{(série divergente)}

( Intégration sur \([k,k+1]\)

Soit \( (S_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (u_n)_{n\in \N} \)

Soit \( (T_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (v_n)_{n\in \N} \)

\( \sum u_n \) converge donc la suite \( (S_n)_{n\in \N} \) converge vers un complexe noté \(S\) ( la somme)

\( \sum v_n \) converge donc la suite \( (T_n)_{n\in \N} \) converge vers un complexe noté \(T\) ( la somme)

Soit \( (\lambda,\mu)\in \mathbb{K}^2 \)

\lim\limits_{n} \displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda u_k+\mu v_k = \lim\limits_{n} \displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda u_k + \lim\limits_{n} \displaystyle\sum_{k=0}^n \mu v_k

= \lim\limits_{n} \lambda S_n+ \lim\limits_{n}\mu T_n = \lambda S+\mu T

\text{Donc,} \displaystyle\sum (\lambda u_n+\mu v_n ) \text{converge, et de plus } \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (\lambda u_k +\mu v_k )= \lambda \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} u_k + \mu \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} v_k

Si \( \sum u_n \) converge alors la suite \( (S_n)_{n\in \N} \) converge vers un complexe noté \(S\)

Soit \( (S_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (u_n)_{n\in \N} \)

Ainsi, \( \sum \bar{u_n} \) converge car la suite \( (\bar{S_n})_{n\in \N} \) converge vers \(\bar{S}\)

En effet, \( \vert \overline{Sn}-\bar{S} \vert\)=\( \vert \overline{Sn-S} \vert\)= \( \vert Sn-S \vert\) \(\underset{n\to +\infty}{\to} 0\)

Im(u_n)=\frac{u_n-\overline{u_n}}{2i}

\( \sum u_n \) et \( \sum \overline{u_n} \) convergent
donc toute série ayant un terme général qui est une combinaison linéaire de \( u_n \) et \( \bar{u_n} \)

Re(u_n)=\frac{u_n+\overline{u_n}}{2}

Donc :

\sum Re(u_n) \text{ et } \sum Im(u_n) \text{ convergent }

Réciproquement, si \( \sum Re(u_n) \) et \( \sum Im(u_n) \) convergent.

Etant donné que :

u_n=Re(u_n)+i Im(u_n) \text{( Combinaison linéaire )}

On a :

\sum u_n \text{ converge }

\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (Re( u_k) + i~ Im(u_k) )= \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} Re(u_k) +~ i \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} Im(u_k)

Dans ce cas:

Soit \( (S_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (u_n)_{n\in \N} \)

On a donc les équivalences suivantes :

\sum u_n \text{ converge}

\iff (S_n)_n \text{ converge}

\iff (S_n)_n \text{ est majorée}

\( (S_n)_{n\in \N} \) t une suite croissante

Soit \( (S_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (u_n)_{n\in \N} \)

Soit \( (T_n)_{n\in \N} \) la suite des sommes partielles de la suite \( (v_n)_{n\in \N} \)

Ces suites partielles sont croissantes car les termes généraux sont positifs

\sum v_n \text{ converge } \Rightarrow (T_n)_n \text{ est convergente } \Rightarrow (T_n)_n \text{ est majorée par sa somme } T

\forall n\geqslant k_0, S_n=\sum_{k=0}^{k_0} u_k +\sum_{k=k_0+1}^{n} u_k \leqslant \sum_{k=0}^{k_0} u_k +\sum_{k=k_0+1}^{n} v_k \leqslant \sum_{k=0}^{k_0} u_k +T

(S_n)_n \text{ est majorée } \Rightarrow (S_n)_n \text{ est convergente } \Rightarrow \sum u_n \text{ converge }

\sum u_n \text{ diverge } \Rightarrow (S_n)_n \text{ est croissante et non majorée } \\\Rightarrow \lim_{n} S_n=+\infty

\forall n\geqslant k_0, T_n=\sum_{k=0}^{k_0} v_k +\sum_{k=k_0+1}^{n} v_k \geqslant \sum_{k=k_0+1}^{n} u_k

\Rightarrow \sum v_n \text{ diverge }

\forall n\geqslant k_0, T_n \geqslant S_n -\sum_{k=0}^{k_0} u_k

\text{Donc } \lim_{n} T_n=+\infty

\sum\frac{1}{\sqrt{k}} \text{ diverge}

Autre exemple

\forall n \geqslant 1 , \frac{1}{\sqrt{n}} \geqslant \frac{1}{n}

\text{ et , }\sum\frac{1}{n} \text{ diverge}

Vocabulaire : série harmonique

u_n\sim v_n \iff u_n=v_n\varepsilon_n \text{ où } \lim\limits_n \varepsilon_n=1

Il existe un rang \(k_0\in\N\) tel que:

\forall k\geqslant k_0, 1-\frac{1}{2}\leqslant \varepsilon_\leqslant 1+\frac{1}{2}

Donc:

\forall k\geqslant k_0, \frac{1}{2}v_k\leqslant \varepsilon_k v_k\leqslant \frac{3}{2}v_k

Et pour tout \( n\geqslant k_0\) :

\sum_{k=k_0+1}^n\frac{1}{2}v_k\leqslant \sum_{k=k_0+1}^n \varepsilon_k v_k\leqslant \sum_{k=k_0+1}^n \frac{3}{2}v_k

\iff \frac{1}{2}(T_n-T_{k_0}) \leqslant S_n-S_{k_0} \leqslant \frac{3}{2}(T_n-T_{k_0})

On obtient :

Pour tout \( n\geqslant k_0\) :

\sum u_n \text{ converge} \iff \sum v_n \text{ converge}

\frac{1}{2}(T_n-T_{k_0})+S_{k_0} \leqslant S_n \leqslant \frac{3}{2}(T_n-T_{k_0})+S_{k_0}

Si \(\sum v_n\) converge alors \( (T_n)_n\) est majorée alors \( (S_n)_n\) est majorée et donc \(\sum u_n\) converge

Si \(\sum u_n\) converge alors \( (S_n)_n\) est majorée alors \( (T_n)_n\) est majorée et donc \(\sum v_n\) converge

\frac{2}{3}(S_n-S_{k_0})+T_{k_0} \leqslant T_n \leqslant 2(S_n-S_{k_0})+T_{k_0}

Soit \(n\in \N^*\).

Soit \(k \in \N^*\), \( \forall t\in [k,k+1]\) , on a:

\text{donc, }\int_k^{k+1} f(k+1) dt \leqslant \int_k^{k+1} f(t) dt \leqslant \int_k^{k+1} f(k) dt

f(k+1)\leqslant f(t)\leqslant f(k)

( décroissance de \(f\) sur \(R_+^*\) )

( la continuité de \(f\) assure qu'elle est intégrable sur tout segment de \(f\) sur \(R_+^*\) )

\text{donc, }\int_k^{k+1} f(k+1) dt \leqslant \int_k^{k+1} f(t) dt \leqslant \int_k^{k+1} f(k) dt

\text{Ainsi, } \sum_{k=1}^n f(k+1) \leqslant \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} f(t) dt \leqslant \sum_{k=1}^n f(k)

\text{et, } f(k+1) \leqslant \int_k^{k+1} f(t) dt \leqslant f(k)

\iff \sum_{k=2}^{n+1} f(k) \leqslant \int_1^{n+1} f(t) dt \leqslant \sum_{k=1}^n f(k)

Soit \(n\in \N^*\).

\iff \sum_{k=2}^{n+1} f(k) \leqslant \int_1^{n+1} f(t) dt \leqslant \sum_{k=1}^n f(k)

Soit \((S_n)_n\) sommes partielles de \( (f(n))_n\)

Soit \((I_n)_n\) suite définie sur \(\N \) par :\(I_n=\displaystyle\int_0^n f(t)dt \)

S_{n+1}-S_1 \leqslant I_{n+1} -I_1\leqslant S_n-S_0

(S_n)_n \text{ converge} \iff (I_n)_n \text{ converge}

Remarque : on peut remplacer 0 par n'importe quel nombre positif et le théorème reste vrai

\sum \frac{1}{n^{\alpha}} \text{ converge}

\(t\mapsto \dfrac{1}{t^{\alpha}}\) est continue ,décroissante et positive sur \([1;+\infty[\)

\iff \left( \frac{1}{(1-\alpha)n^{\alpha-1}} -\dfrac{1}{1-\alpha}\right)_n \text{ converge}

\iff \alpha-1>0

\iff \alpha >1

\iff \left(\int_1^n \frac{dt}{t^{\alpha}}\right)_n \text{ converge}

\sum \frac{1}{n^{\alpha}} \text{ converge}

\iff \alpha >1

\displaystyle\int_1^n \dfrac{dt}{t^{\alpha}} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{1-\alpha} n^{1-\alpha} -\frac{1}{1-\alpha} & \text{si }\alpha<1\\\\ \ln(n) & \text{si }\alpha=1\\\\ \frac{1}{(1-\alpha)n^{\alpha-1}} -\frac{1}{1-\alpha} & \text{si }\alpha>1 \end{array} \right.

\iff\left(\int_1^n \frac{dt}{t^{\alpha}}\right)_n \text{ converge}

\displaystyle\int_1^n \dfrac{dt}{t^{\alpha}} \underset{n\to\infty}{\to} \left\{ \begin{array}{l} +\infty & \text{si }\alpha<1\\\\ +\infty & \text{si }\alpha=1\\\\ -\frac{1}{1-\alpha} & \text{si }\alpha>1 \end{array} \right.

\text { Si } \alpha>1 \text { et } \lim _{k \rightarrow+\infty} k^\alpha u_k=0 \text {, alors }

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, 0 \leqslant n^\alpha u_n \leqslant 1

\forall n\geqslant n_0, 0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n^\alpha}

\( \alpha>1,\text{ donc }\sum \dfrac{1}{n^\alpha}\) est une serie de Riemann convergente.

\text { Si } 0<\alpha \leqslant 1 \text { et } \lim _{k \rightarrow+\infty} k^\alpha u_k=+\infty \text {, alors }

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, n^\alpha u_n \geqslant 1

\forall n\geqslant n_0, u_n \geqslant \dfrac{1}{n^\alpha}

\( \alpha\leqslant 1,\text{ donc }\sum \dfrac{1}{n^\alpha}\) est une serie de Riemann divergente.

D'après le théorème des comparaison des séries positives

\(\sum u_n \) converge

\(\sum u_n \) diverge

\sum_{k=0}^n q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

\text{Si } 0 < q < 1 :

\text{Si } q=1 :

\text{Si } q > 1 :

=\dfrac{1-e^{(n+1)\ln(q)}}{1-q}

\sum_{k=0}^n q^k=n+1

\sum_{k=0}^n q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

=\dfrac{1-e^{(n+1)\ln(q)}}{1-q} \underset{n\to +\infty}{\to}+\infty

\sum q^n \text{ converge et }

\sum_{k=0}^{+\infty} q^k=\dfrac{1}{1-q}

\sum q^n \text{ diverge }

\underset{n\to +\infty}{\to}+\infty

\text{Si } \ell \in \R, \text{ on a nécessairement :} \ell\geqslant 0

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, \ell-\varepsilon \leqslant \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \ell+\varepsilon

\forall \varepsilon>0,

\text{on choisit } \varepsilon \text{ tel que : } \ell<\ell+\varepsilon <1 \text{. (Par exemple } \varepsilon=\frac{1-\ell}{2} \text{) }

\forall k\geqslant N_0, 0 < \dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leqslant \ell+\varepsilon

\text{Ainsi }

\text{Et }

\forall n\geqslant N_0, 0 < \prod_{k=N_0}^n\dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leqslant \prod_{k=N_0}^n (\ell+\varepsilon)

\iff \forall n\geqslant N_0, 0 < \dfrac{u_{n+1}}{u_{N_0}} \leqslant (\ell+\varepsilon)^{n-N_0+1}

\iff \forall n\geqslant N_0, 0 < u_{n+1} \leqslant C q^{n}

\iff \forall n\geqslant N_0, 0 < u_{n+1} \leqslant u_{N_0} (\ell+\varepsilon)^{n-N_0+1}

\text{où }\\ q=\ell+\varepsilon\\ C=u_{N_0} (\ell+\varepsilon)^{-N_0+1}

\bullet \text{Si } \ell<1,

\text{Si } \ell \in \R, \text{ on a nécessairement :} \ell\geqslant 0

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, \ell-\varepsilon \leqslant \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \ell+\varepsilon

\forall \varepsilon>0,

\forall n\geqslant N_0, 0 < u_{n+1} \leqslant C q^{n}

\text{avec }\\ q=\ell+\varepsilon

\bullet \text{Si } \ell<1,

\(q\in[0;1[ \) donc \(\sum q^n\) est une série géométrique convergente

D'après le théorème des comparaison des séries positives

\(\sum u_n \) converge

\text{Si } \ell \in \R, \text{ on a nécessairement :} \ell\geqslant 0

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, \ell-\varepsilon \leqslant \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \ell+\varepsilon

\forall \varepsilon>0,

\bullet \text{Si } \ell>1,

\text{on choisit } \varepsilon \text{ tel que : } 1<\ell-\varepsilon <\ell \text{. (Par exemple } \varepsilon=\frac{\ell-1}{2} \text{) }

\forall k\geqslant N_0, \dfrac{u_{k+1}}{u_k} \geqslant \ell-\varepsilon

\text{Ainsi }

\text{Et }

\forall n\geqslant N_0, \prod_{k=N_0}^n\dfrac{u_{k+1}}{u_k} \geqslant \prod_{k=N_0}^n (\ell-\varepsilon)

\iff \forall n\geqslant N_0, \dfrac{u_{n+1}}{u_{N_0}} \geqslant (\ell-\varepsilon)^{n-N_0+1}

\iff \forall n\geqslant N_0, u_{n+1} \geqslant C q^{n}

\iff \forall n\geqslant N_0, u_{n+1} \geqslant u_{N_0} (\ell-\varepsilon)^{n-N_0+1}

\text{où }\\ q=\ell-\varepsilon\\ C=u_{N_0} (\ell-\varepsilon)^{-N_0+1}

\text{Si } \ell \in \R, \text{ on a nécessairement :} \ell\geqslant 0

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, \ell-\varepsilon \leqslant \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \ell+\varepsilon

\forall \varepsilon>0,

\text{avec }\\ q=\ell-\varepsilon

\bullet \text{Si } \ell>1,

\(q>1 \) donc \(\sum q^n\) est une série géométrique divergente

D'après le théorème des comparaison des séries positives

\(\sum u_n \) diverge

\forall n\geqslant N_0, u_{n+1} \geqslant C q^{n}

\text{Si } \ell=+\infty

\exists N_0 \in \N, \forall n\geqslant N_0, \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 10

\text{avec }\\ C=u_{N_0}10^{-N_0+1}

\(\sum 10^n\) est une série géométrique divergente

D'après le théorème des comparaison des séries positives

\(\sum u_n \) diverge

\forall n\geqslant N_0, \prod_{k=N_0}^n\dfrac{u_{k+1}}{u_k} \geqslant \prod_{k=N_0}^n 10

\iff \forall n\geqslant N_0, \dfrac{u_{n+1}}{u_{N_0}} \geqslant 10^{n-N_0+1}

\iff \forall n\geqslant N_0, u_{n+1} \geqslant C 10^{n}