Détail :
DS
Ex3
1°)

DS Ex3.

g(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)\\

Pour tout \(x>0\), on a :

=xe^x\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}

=xe^x\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2}}

=xe^x\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}

=xe^x\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\mid x \mid }

=xe^x\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x }

=e^x (1+x^2)^{\frac{1}{2}}

Etape 1 transformation algébrique de l'expression

g(x)=e^x (1+x^2)^{\frac{1}{2}}

Etape 2 Développement limité du produit

D'une part :

e^x\underset{0^+}{=}1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)

D'autre part :

(1+x^2)^\frac{1}{2}\underset{0^+}{=}1+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)

Le produit de ces \(DL_2(0)\) donne le \(DL_2(0)\) suivant :

e^x(1+x^2)^\frac{1}{2}\underset{0^+}{=}(1+x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2))(1+\frac{1}{2}x^2+o(x^2) )

\underset{0^+}{=}1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)

\underset{0^+}{=}1+x+x^2+o(x^2)