Equation différentielle linéaire d'ordre 1

17/04/2024

Equations différentielles linéaires d'ordre 1

ay'+by=c(t)

à coefficients constants

a\neq 0

\iff y'+\dfrac{b}{a}~y=\dfrac{c(t)}{a}

coefficient constant

\( ay'+b y=0\)

Forme

\( y''+ay^2=b \)

\( ay'+b y=c \)

\( ay'+b y=0\)

Text

Coefficients a et b constants

\( ay'+b y=c \)

Equations différentielles linéaires d'ordre 1

~~à coefficient constant~~

y'+a(t)~y=b(t)

fonction de \( t \)

Cas de coefficients a et b non constants

loi de Newton du refroidissement
échauffement d’un objet dans un environnement variable

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

1. (\(E_1)\) : voir chapitre correspondant

3. \( (E_3) : \text{non sous la forme } y'+a(x)=b(x) \)

2. \( (E_2) : y'+a(x)y=b(x) \)
avec \( x\mapsto \dfrac{x^2+1}{x}\) et \( x\mapsto \dfrac{e^x}{x} \) continues sur l'ouvert \(]0;+\infty[\)

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

Autrement dit
\( S_H \) est

un sous-espace vectoriel de

\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

Mieux.
\( S_H \) est

un sous-espace vectoriel de

\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

I est un intervalle ouvert

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

a: x \mapsto

y'+a(x)y=0

A: x \mapsto

-x

\mathcal{S}_H=\left\{\begin{aligned} y_0: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{\frac{x^2}{2}} , \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

a: x \mapsto

A: x \mapsto

\sin(x)

-\cos(x)

-\dfrac{x^2}{2}

\mathcal{S}_H=\left\{\begin{aligned} y_0: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{\cos(x)} , \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

continue sur \( I=\mathbb{R}\)

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

(E) y'+a(x)y=b

Si \( a\) est constante et \( a\) est de la forme:

\( x\mapsto P(x) \)
\( x\mapsto P(x) e^{mx}\)
\( x\mapsto A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x) \)

}

Voir chapitre
où les
coefficients
sont constants

L'ensemble des solution de (E) est :

\mathcal{S}=\left\{\begin{aligned} y: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-A(x)}+y_p , \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

(E) y'+a(x)y=b

Preuve : Existence de la fonction \( \lambda\) :

Soit \(x\mapsto b(x) e^{A(x)}\)

Cette fonction est définie sur I et est obtenue par produit et composition de fonctions continues donc elle est continue sur I
elle admet donc une primitive .
Soit \( \lambda \) une de ses primitives .

On considère \( y_p: x\mapsto \lambda (x) e^{-A(x)}\)

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

(E) y'+a(x)y=b

Montrons que \(y_p\) est une solution de (E)

\forall x\in I, \quad (y_p)'(x)=\lambda'(x)e^{-A(x)}- \lambda(x) a(x)e^{-A(x)}

\( y_p: x\mapsto \lambda (x) e^{-A(x)}\)

=b(x)e^{A(x)}e^{-A(x)}- a(x) \lambda(x) e^{-A(x)}

=b(x)- a(x)y_p(x)

\text{Bilan: }\forall x\in I, \quad (y_p)'(x)+a(x)y_p(x)=b(x)

Preuve (suite): Existence de la fonction \( \lambda\) :

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

Soit \( \mathcal{S}\) l'ensemble des solutions de : \( (E) : y'+a(x)y=b(x) \)

Soit \( y_p\) une solution particulière de \( (E) \), on montre que:

\mathcal{S}=\left\{\begin{aligned} y: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-A(x)}+y_p, \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

Soit \( y \in \mathcal{S}\) :
On vérifie aisément que \( y-y_p \) est une solution particulière de \( (H) \)

En effet, \( y'+a(x)y=b(x) \)

et, \( y_p'+a(x)y_p=b(x) \)
(on soustrait membre à membre )

\( y-y_p \) est une solution de \( (H) \)

\left\{\begin{aligned} y: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-A(x)}+y_p, \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}\subset \mathcal{S}

Réciproquement soit :

On a:
Sur I,il existe \( \lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(y=\lambda e^{-A(x)}+y_p \)
Ainsi, \( y'+a(x)y=-a(x)\lambda e^{-A(x)}+y_p' +a(x) (\lambda e^{-A(x)}+y_p)\)

= \( -a(x)\lambda e^{-A(x)}-a(x)y_p+b(x) +a(x) (\lambda e^{-A(x)}+y_p)\)

\( y-y_p \) est une solution particulière de \( (H) \)
ainsi

y-y_p\in \left\{\begin{aligned} y: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-A(x)}, \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

On a montré que:

y\in\left\{\begin{aligned} y: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-A(x)}+y_p, \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

= \( b(x)\)

On a montré que:

\mathcal{S}\subset \left\{\begin{aligned} y: I & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-A(x)}+y_p, \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

L'ensemble des solutions de (\(H\)) est :

\mathcal{S}_H=\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-x} , \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

a: x \mapsto 1

b: x \mapsto \dfrac{1}{1+e^x}

sont continues sur \(I=\mathbb{R}\)

Equation différentielle linéaire d'ordre 1

L' ensemble des solutions de (E) est :

\mathcal{S}=\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-x}+ln(1+e^x) e^{-x}, \lambda\in \mathbb{R}\end{aligned}\right\}

\forall x\in I ,y_p(x)= \lambda(x) e^{-x}

Solution particulière \(y_p\) :

\forall x\in I ,\lambda'(x)= b(x)e^{A(x)}

\text{.... la mémorisation accélère le processus , sinon on dérive } \lambda

= \dfrac{e^{x}}{1+e^x}

donc

\forall x\in I ,\lambda(x) = \ln(\vert 1+e^x \vert )= \ln( 1+e^x )