3.4 Hajoamislaki

FY08 Aine, säteily ja kvantittuminen

Isotooppien epävakaus

  • Suurin osa isotoopeista on epävakaita
  • Vahvan vuorovaikutuksen on helpompi liittää yhteen neutroneja kuin protoneja
    • Neutronien välillä ei sähköistä poistovoimaa
  • Ytimen hajoaminen tapahtuu niin, että tytärytimen N/Z-suhde on lähempänä optimaalista kuin emoytimen

protonien lkm

neutronien lkm

hiukkanen pääsee ytimen ulkopuolelle

Kuva: Resonanssi 8 (e-Oppi)

Kuva: Resonanssi 8 (e-Oppi)

Aktiivisuus

  • Radioaktiivisen aineen atomit hajoavat satunnaisesti
    • Kullakin radioaktiivisella isotoopilla on ominainen todennäköisyys, jolla se hajoaa
    • Ei voida ennustaa yksittäistä ytimen hajoamista
  • Aktiivisuus kuvaa radioaktiivisen aineen hajoamisnopeutta
    • Se ilmoittaa hajoamisten lukumäärän yhdessä sekunnissa

 

 

 

  • Hajoamisvakio λ kuvaa ytimen hajoamisen todennäköisyyttä aikayksikössä
    • Suuri λ            todennäköisyys hajoamiselle suuri           lyhytikäinen isotooppi
A = \lambda N
A = \text {aktiivisuus} \ (\text {Bq})
\lambda = \text {hajoamisvakio} \ (\text {1/s})
N = \text {hajoavien ytimien lukumäärä} \ (\text {kpl})

Hajoavien ydinten lukumäärä

  • Radioaktiivisen näytteen ydinten lukumäärä on käytännössä mahdotonta laskea
  • Näytteen massa on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään

 

 

 

  • Taulukosta löytyvä atomimassa saadaan muutettua kilogrammoiksi muuntokertoimella
\Rightarrow N = \frac{m_{\text {näyte}}}{m_{\text {atomi}}}
1 \ \text u = 1,660 \, 539 \cdot 10^{–27} \text{ kg}
m_{\text {näyte}} = N \cdot m_{\text {atomi}}

Hajoamislain johto

  • Radioaktiivisten ydinten määrä N pienenee eksponentiaalisesti
  • Keskimääräinen aktiivisuus (hajoamista sekunnissa) on

 

 

  • Aineen hetkellinen aktiivisuus on                                                          
A = - \frac{\Delta N}{\Delta t}
A = \lambda N
- \frac{\Delta N}{\Delta t} = \lambda N
- \frac{dN}{dt} = \lambda N
\frac{dN}{N} = - \lambda dt

Pienennetään tarkasteltavaa aikaväliä Δt         dt,

jolloin aikavälillä dt hajoavien ytimien määrä on dN

Ratkaistaan aktiivisten ytimien määrä N ajanhetkellä t, kun niitä alussa ajanhetkellä t0 on N0. 

\int_{N_0}^N\frac{dN}{N}=\int_{t_0}^t-\lambda \ dt
\int_{N_0}^N\frac{1}{N} \ dN=\int_{t_0}^t-\lambda \ dt
\bigg/_{\!\!\!\!\!{N_0}}^N\ln\ N=\bigg/_{\!\!\!\!\!{t_0}}^t\left(-\lambda t\right)
\ln\ N - \ln\ N_0 = -\lambda t
\ln\ \frac{N}{N_0} = -\lambda t
\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}
N = N_0e^{-\lambda t}

Hajoamislaki:

\frac{dN}{N} = - \lambda dt

Integroidaan:

e = \text {Neperin luku}
\parallel t_0 = 0

Aktiivisuuden lauseke ajanhetkellä t

N = N_0e^{-\lambda t}
A(t) = - \frac{d(N(t))}{dt} = - \frac{d(N_0e^{-\lambda t})}{dt} = - (-\lambda) N_0e^{-\lambda t} = A_0e^{-\lambda t}
A = A_0e^{-\lambda t}
N_0 = \text {hajoavien ytimien lukumäärä tarkastelun alkuhetkellä (kpl)}
t = \text {aika (s)}
A_0 = \text {aineen aktiivisuus alussa (Bq)}
A = \text {aineen aktiivisuus ajan} \ t \ \text {jälkeen (Bq)}
e = \text {Neperin luku}
N = \text {hajoavien ytimien lukumäärä ajan} \ t \ \text {jälkeen (kpl)}

Hajoavien ytimien lukumäärä

Aktiivisuus

\lambda = \text {hajoamisvakio} \ (1/\text s)

Puoliintumisaika

  • Puoliintumisajan kuluessa puolet alkuperäisistä ytimistä on hajonnut
  • Kun ytimien määrä puolittuu, puolittuu myös aktiivisuus

1 puoliintumis-aika

2 puoliintumis-aikaa

3 puoliintumis-aikaa

puolet ytimistä jäljellä

neljäsosa ytimistä jäljellä

kahdeksasosa ytimistä jäljellä

A = A_0e^{-\lambda t}

Kuva: Resonanssi 8 (e-Oppi)

Puoliintumisaika ja hajoamisvakio

N = N_0e^{-\lambda t}
N = N_0e^{-\lambda T_{1/2}}
\frac{1}{2}N_0 = N_0e^{-\lambda T_{1/2}}
\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}
\ln\ \frac{1}{2} = \ln\ e^{-\lambda T_{1/2}}
-\ln\ 2 = -\lambda T_{1/2}
T_{1/2} = \frac{\ln\ 2}{\lambda}

Puoliintumisaika

Yksiköissä a, d, h ja s

Puolet alkuperäisistä ytimistä:

Puoliintumisajan T1/2 kuluttua:

Kuva: MAOL-taulukot (Otava)

I-131 -näytteen aktiivisuus valmistushetkellä on 110 kBq. Kuinka suuri on aktiivisuus kuukauden (30 d) kuluttua?

Esimerkki 1

Taulukosta:

Suuruusluokan arviointi:

32 d on n. 4 puoliintumisaikaa (32 d / 8 d = 4)

\text {puoliintumisaika} \ T_{1/2}=8,02 \text \ \text d
T_{1/2} = \frac{\ln\ 2}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}}
A = A_0e^{-\lambda t}
A = 8,2289 \ \text {kBq} \approx 8,2 \ \text {kBq}
(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}

Ratkaistaan nyt aktiivisuus.

A = 110 \cdot 10^3 \ \text {Bq} \cdot e^{-\frac{\ln\ 2}{8,02 \ \text d} \ \cdot \ 30 \ \text d}
\lambda = \text {hajoamisvakio}

eli jäljellä on n. kuudestoistaosa 110 kBq / 16 = 6,9 kBq

A = A_0e^{- \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}} t}

Puoliintumisaika on

Ydinvoimaloissa käytetään "polttoaineena" uraani-235 -isotooppia. Sen puoliintumisaika on                      vuotta. Kuinka kauan uraani-235:n pieneneminen kymmenesosaan kestää?

Esimerkki 2

7,038 \cdot 10^8

Ratkaistaan ensin hajoamisvakio λ puoliintumisajan avulla.

T_{1/2} = \frac{\ln\ 2}{\lambda}
\lambda = \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}}
(\lambda = \frac{\ln 2}{7,038 \ \cdot \ 10^8 \ \text a})

Hajoavien ytimien määrä pienenee kymmenesosaan alkuperäisestä määrästä.

N = N_0e^{-\lambda t}
\frac{1}{10 }N_0 = N_0e^{-\lambda t}
\frac{1}{10 } = e^{-\lambda t}
(A = A_0e^{-\lambda t})

Myös aktiivisuus pienenee kymmenesosaan alkuperäisestä.

Hajoamislain mukaan

\parallel \lambda = \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}}
\frac{1}{10 } = e^{-\lambda t}
\ln (\frac{1}{10}) = \ln (e^{-\lambda t} )
\ln 1 - \ln 10 = -\lambda t
0- \ln 10 = -\lambda t
\ln 10 = \lambda t
t = \frac{\ln 10}{\lambda}
t = \frac{\ln 10}{\ln \ 2} \cdot 7,038 \cdot 10^8 \ \text a
t = 2 \ 337 \ 972 \ 993 \ \text a \approx 2,338 \cdot 10^9 \ \text a

Yli 2 miljardia vuotta!

t = \frac{\ln 10}{\ln 2} \cdot T_{1/2}

Radiohiiliajoitus

  • Radiohiilen C-14 määrä ilmakehässä on vakio
    • Radiohiiltä syntyy ilmakehään kosmisen säteilyn osuessa typpiytimiin
  • Se sitoutuu eläviin organismeihin niiden eläessä samoin kuin muutkin hiilet
    • Määrä elävässä oliossa on samassa suhteessa kuin ilmakehässäkin
  • Kun organismi kuolee, sitoutuminen loppuu ja C-14:n määrä vähenee hajoamislakia noudattaen

 

 

  • Radiohiiliajoituksen ongelmia: kosmisen säteilyn vaihtelu eri aikakausina, Maan magneettikentän muutokset, fossiilisten polttoaineiden käyttö ja ydinkokeet, hajoavien ytimien lukumäärä
    • Menetelmä toimii luotettavasti 60 000 vuoteen asti
N = N_0e^{-\lambda t}
_6^{14}\text C \rightarrow \ _7^{14}\text N + \beta^-+\overline{\nu}
T_{1/2}= 5730 \ \text a

Esimerkki 3 (YO S22 8c, 7 p)

Hiili esiintyy luonnossa kahtena pysyvänä isotooppina         ja        sekä radioaktiivisena isotooppina        . Ilmakehässä isotoopin lukumääräosuus on 98,9 % ja isotoopin         lukumääräosuus on    1,1 %. Isotoopin         osuus kaikesta ilmakehän hiilestä on                                       , ja isotoopin puoliintumisaika on 5 730 vuotta.

 

Eräästä Itä-Suomessa sijaitsevasta kivikautisesta asuinpaikasta löytyi kaivauksissa nisäkkään luu, jolle tehtiin massaspektrometrillä hiilen isotooppisuhteiden määritys. Isotooppien          ja  lukumääräsuhteeksi saatiin                     . Arvioi, kuinka kauan aikaa sitten asuinpaikkaa käytettiin.

^{12}\text C
^{13}\text C
^{14}\text C
^{12}\text C
^{13}\text C
^{14}\text C
1,2 \cdot 10^{-12}
^{14}\text C
^{13}\text C
3,5 \cdot 10^{-11}

Poimitaan tehtävänannosta lähtötietoja:

        on pysyvä isotooppi, joten sen määrä luunäytteessä on mittaushetkellä sama kuin nisäkkään kuollessa.

^{13}\text C
N(^{13}\text C) = N_0(^{13}\text C)

        on radioaktiivisesti hajoava isotooppi, joten sen määrä pienenee hajoamislain mukaisesti.

^{14}\text C
N(^{14}\text C) = N_0 (^{14}\text C) e^{- \lambda t} = N_0 (^{14}\text C) e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}

Luunäytettä tutkittaessa isotooppien lukumääräsuhteeksi saatiin mittauksissa

Nisäkkään kuollessa lukumääräsuhde                                  oli yhtä suuri kuin isotooppien         ja         lukumääräsuhde ilmakehässä.

\frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} = \frac{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}}{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}}
\frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)} = 3,5 \cdot 10^{-11}
N_0(^{14}\text C) / N_0(^{13}\text C)
^{14}\text C
^{13}\text C

Puoliintumisaika

T_{1/2} = 5730 \ \text a

2 p

Koska mittauksen hetkellä lukumääräsuhde tiedetään, lähdetään kirjoittamaan yhtälöä sen suhteen.

\frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)} = \frac{N_0 (^{14}\text C) e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}}{N_0 (^{13}\text C)} = \frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}
\frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)} = \frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}

Ratkaistaan yhtälöstä aika t.

e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t} = \frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)}
- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t = \ln (\frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)})
t = - \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln (\frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)})

2 p

Sijoitetaan nyt lukuarvot ja ratkaistaan näytteen ikä.

Käännetään lukumääräsuhde                                   toisinpäin.

\frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} = \frac{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}}{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}} \Rightarrow \frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} = \frac{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}}{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}}
t = - \frac{5730 \ \text a}{\ln 2} \ln (\frac{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}}{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}} \cdot 3,5 \cdot 10^{-11})
t = 9397,80 \ \text a
N_0(^{14}\text C) / N_0(^{13}\text C)
t = - \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln (\frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)})
t \approx 9400 \ \text a

3 p

Esimerkki 4

Paleontologille tuotiin fossiilinäyte, jonka iäksi väitettiin 100 000 vuotta.

 

Paleontologi tutki näytettä ja sai selville, että fossiilinäytteessä oli 12,5 % radiohiiltä. Valehdeltiinko paleontologille näytteen iästä?

Ratkaistaan ensin hajoamisvakio λ puoliintumisajan avulla.

T_{1/2} = \frac{\ln\ 2}{\lambda}
\lambda = \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}}
\lambda = \frac{\ln\ 2}{5730 \ \text a}

Radiohiiltä oli näytteessä enää 12,5 % jäljellä.

N = N_0e^{-\lambda t}
0,125N_0 = N_0e^{-\lambda t}
0,125 = e^{-\lambda t}

Hajoamislain mukaan

TAPA 1: Selvitetään näytteen ikä.

\parallel \lambda = \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln\ 2}{5730 \ \text a}
0,125 = e^{-\lambda t}
\ln (0,125) = \ln (e^{-\lambda t} )
\ln (0,125) = -\lambda t
t = \frac{\ln (0,125)}{-\lambda}
t = \frac{\ln (0,125)}{-\frac{\ln\ 2}{5730 \ \text a}}
t = 17 \ 190 \ \text a
t \approx 17 \ 200 \ \text a

Näytteen ikä on radiohiiliajoituksen mukaan 17 200 vuotta, joten paleontologille valehdeltiin.

TAPA 2: Selvitetään hajoavien ytimien määrä suhteessa alkuperäiseen.

N = N_0e^{-\lambda t}

Hajoamislain mukaan

\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}
\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}
\frac{N}{N_0} = e^{-\frac{\ln 2}{5730 \ \text a} \ \cdot \ 100 \ 000 \ \text a}
\frac{N}{N_0} = 5,57727956 \cdot 10^{-6}
\frac{N}{N_0} = 0,000 \ 558 \%

Radiohiilen osuus on 100 000 vuotta vanhassa näytteessä huomattavasti pienempi kuin mitä paleontologi havaitsi, joten näyte ei voi olla niin vanha.

Esimerkki 5

In-111 (indium) on radioaktiivinen aine, jonka puoliintumisaika on 2,83 d. In-111-pentetreotidia käytetään haiman isotooppi-kuvauksessa.

 

Sairaalan tilaama erä In-111-pentetreotidiliuosta lähtee valmistajalta maanantaina klo 15.00. Saapumishetkenä tiistaina klo 12.00 sen aktiivisuus on 660 MBq.

 

Mikä on In-111-pentetreotidi-lähetyksen aktiivisuus silloin, kun se lähtee valmistajalta?

Aktiivisuus pienenee eksponentiaalisesti.

A = A_0 e^{- \lambda t}
\parallel T_{1/2} = \frac{\ln\ 2}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln\ 2}{T_{1/2}}
A_0 = \frac{A}{e^{- \lambda t}}
A_0 = A \cdot \frac{1}{e^{- \lambda t}}
A_0 = A (e^{- \lambda t})^{-1}
A_0 = A e^{\lambda t}
A_0 = A e^{\frac{\ln\ 2}{T_{1/2}} t}
A_0 = 660 \ \text {MBq} \cdot e^{\frac{\ln\ 2}{2,83 \ \text d} \cdot \frac{21}{24} \ \text d} = 817,746 \ \text {MBq} \approx 820 \ \text {MBq}
\text {aktiivisuus lopussa} \ A = 660 \ \text {MBq}
\text {hajoamisaika} \ t = 21 \ \text {h} = \frac{21}{24} \ \text d
\text {aktiivisuus alussa} \ A_0 = \ ?

Puoliintumisajan ja hajoamisvakion yhteys: