4.3 Mekaniikan energiaperiaate

FY04 Voima ja liike

Mekaniikan energiaperiaate

  • Jos kappaleeseen vaikuttaa myös ei-konservatiivisia voimia, mekaaninen energia ei säily
    • Ei-konservatiivisten voimien tekemä työ pitää huomioida yhtälössä
  • Työn ja mekaanisen energian yhteys ilmaistaan työ- energiaperiaatteena (= mekaniikan energiaperiaatteena)

 

 

  • Työ on positiivinen, jos se kasvattaa systeemin mekaanista energiaa
    • ​Ja vastaavasti negatiivinen, jos se pienentää mekaanista energiaa
  • Energiaperiaatetta soveltaessa konservatiivisten voimien tekemää työtä ei tarvitse ottaa huomioon
    • Konservatiivisten voimien tekemä työ näkyy potentiaalienergian muutoksena
E_{\text {mek}}^{\text {alussa}} \pm W = E_{\text {mek}}^{\text {lopussa}}

Esimerkkejä energiaperiaatteesta

Työtermiä ei huomioida (ilmanvastus nolla).

Esimerkki 1

Hiihtäjän massa varusteineen on 73 kg. Hän lähtee 8,0 m korkuisen mäen huipulta alkunopeudella 2,5 m/s.

 

Laske hiihtäjän nopeus mäen alla, kun liikettä vastustaa 55 N:n voima 35 m pitkän mäenlaskun aikana.

\text {alkunopeus} \ v_0 = 2,5 \ \text m/ \text s
\text {massa} \ m = 73 \ \text {kg}
\text {mäen korkeus} \ h = 8,0 \ \text m
\text {mäen pituus} \ s = 35 \ \text m
\text {loppunopeus} \ v = \ ?
\text {liikettä vastustava voima} \ F_{\mu} = 55 \ \text N

Työ-energiaperiaatteen mukaan vastustavan voiman tekemä työ pienentää kappaleen mekaanista energiaa.

E_k^{\text {alku}} + E_p^{\text {alku}} - W = E_k^{\text {loppu}} + E_p^{\text {loppu}}
\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh - F_{\mu}s = \frac{1}{2}mv^2 + mgh_0
\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh - F_{\mu}s = \frac{1}{2}mv^2 + 0
\text {putoamiskiihtyvyys} \ g = 9,81 \ \text m/ \text s^2
\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh - F_{\mu}s = \frac{1}{2}mv^2
mv^2 = mv_0^2 + 2mgh - 2F_{\mu}s
v^2 = v_0^2 + 2gh - \frac{2F_{\mu}s}{m}
v = \sqrt{ v_0^2 + 2gh - \frac{2F_{\mu}s}{m} }
v = \sqrt{(2,5 \ \text m/ \text s)^2 + 2 \cdot 9,81 \ \text m/ \text s^2 \cdot 8,0 \ \text m - \frac{2 \ \cdot\ 55 \ \text N \ \cdot \ 35 \ \text m}{73 \ \text {kg}} }
v = 10,5105 \ \text m/ \text s
v \approx 11 \ \text m/ \text s

Ratkaisu laskinta hyödyntäen:

Lauseke nopeudelle voidaan ratkaista laskimella:

Älä kuitenkaan liitä laskimen kuvakaappausta ratkaisuun, vaan kirjoita lauseke kaavaeditorilla!