5 Mittaaminen

FY01 Fysiikka luonnontieteenä

  • Fysiikassa virhe sisältyy kaikkiin mittauksiin!
    • ​Ei välttämättä huono asia, virhelähteitä ja syitä pitää pohtia​
    • Työselostuksissa virheanalyysi yksi tärkeimmistä osioista

VIRHE ≠ VÄÄRIN

Mittausvirhe

Mittalaitteen tarkkuus

  • Kaikilla mittalaitteilla on rajallinen tarkkuus
  • Mittatuloksen tarkkuus riippuu käytetystä välineestä
  • Mittaustarkkuuden ilmoittaminen on osa tulosten luotettavuuden arviointia!

Mittausvirhetyypit

  • ​Satunnaisvirhe: mittaustuloksen ja todellisen arvon välinen ero
    • ​Ei selkeää syytä
    • Usein liittyy mittausvälineen tarkkuuteen
    • Tulee esiin, kun tehdään useita mittauksia
    • Voidaan määrittää mittaustulosten ja keskiarvon välisistä poikkeavuuksista
  • Systemaattinen virhe: mittalaitteesta tai mittaustilanteesta johtuva poikkeama mittaustuloksen ja suureen todellisen arvon välillä
    • ​Virhe toistuu jokaisessa mittauksessa (samansuuruisena)
    • Mittaustulokset voidaan korjata jälkikäteen, jos virheen suuruus on tiedossa
  • ​Karkea virhe: epäonnistunut mittaus
    • ​Syy usein mittaajassa (selkeä huolimattomuus!)

Mittaustuloksen tarkkuus

  • Mittaustulos ilmoitetaan muodossa                                 , missä
x = x_m \pm \Delta x

x on mitattu suure (valitse sopiva suuretunnus x:n tilalle)

xm on mittaustulos

Δx on mittausvirhe (vähintään mittalaitteen tarkkuus)

Δ tarkoittaa luonnontieteissä ja matematiikassa muutosta

l = 175,0 \ \text {cm} \pm 0,1 \ \text {cm}

Esim. pituuden mittaus:

Mittaustulos on 175,0 cm ja mittanauhan mittaustarkkuus on 0,1 cm

m= 72 \ \text {kg} \pm 1 \ \text {kg}

Esim. massan mittaus:

Mittaustulos on 72 kg ja vaa'an mittaustarkkuus on 1 kg

  • Virhearvio pyöristetään aina ylöspäin
  • Mittaustuloksessa ja virheessä yhtä monta desimaalia            

Toistomittaus

  • Toistomittauksessa sama mittaus toistetaan useamman kerran samalla tavalla
    • Tuloksen luotettavuus paranee
    • Tulos saadaan laskemalla mittausten keskiarvo
  • Absoluuttinen virhe Δx kertoo, kuinka paljon mitatut arvot keskimäärin poikkeavat tuloksesta (eli keskiarvosta)
  • Suhteellinen virhe                     kertoo kuinka monta prosenttia absoluuttinen virhe on toistomittauksen tuloksesta (keskiarvosta)
\overline x
\frac{\Delta x}{\overline x} \cdot 100 \ \%

Vaihteluvälin puolikas

  • Toistokokeessa mittausvirheen arvioinnissa voidaan käyttää mittaustulosten vaihteluvälin puolikasta
\Delta x = \frac{x_{max} - x_{min}}{2}
x_{max} = \text {mittaustulosten suurin arvo}
x_{min} = \text {mittaustulosten pienin arvo}

Esim. massan mittaus (yht. 5 mittausta):

m_{max} = 73,3 \ \text {g}
m_{min} = 69,7 \ \text {g}
\overline m = 71,2 \ \text {g}
\Delta m = \frac{73,3 \ \text {g} \ - \ 69,7 \ \text {g}}{2} = 1,8 \ \text {g}
m= 71,2 \ \text {g} \pm 1,8 \ \text {g}

Tulos:

Keskiarvo:

Maksimi:

Minimi:

Vaihteluvälin puolikas:

Tilastolliset menetelmät

  • Virheen arvioimiseen voidaan myös käyttää tilastollisia tunnuslukuja keskipoikkeamaa ja keskihajontaa
  • Keskipoikkeama saadaan
    • Määrittämällä jokaisen mittauksen poikkeama keskiarvosta
    • Laskemalla poikkeamista keskiarvo
  • Keskihajonta voidaan laskea esim. taulukkolaskentaohjelmalla
    • Kertoo kuinka kaukana mittaustulokset ovat keskimäärin mittauksen keskiarvosta
  • Taulukkolaskentaohjelman (esim. LibreOffice) komennot:
    • ​Keskiarvo: =keskiarvo() tai =average()
    • Keskipoikkeama: =keskipoikkeama() tai =avedev()
    • Keskihajonta: =keskihajonta() tai =stdev()

Sarjamittaus

  • Sarjamittauksessa muutetaan toisen mitattavan suureen arvoa
    • Tutkitaan, kuinka muutos vaikuttaa toisen suureen arvoon
  • Tulokset esitetään graafisesti
    • Saadaan selville suureiden välinen verrannollisuus
    • Voidaan määrittää uusi suure
  • Saadaan selville virhetyypit ja vähennettyä yksittäisen mittausvirheen merkitystä

Satunnaisvirhe

Systemaattinen virhe

Karkea virhe

Pyöristäminen

  • Mittaamiseen liittyvä epätarkkuus pitää aina huomioida tulosta ilmoitettaessa
  • Kun mittaustuloksilla tehdään laskentaa, vastaus pyöristetään oikeaan tarkkuuteen
  • Pyöristykseen vaikuttavat aina lähtöarvot!

 

 

 

 

 

 

 

  • Pyöristettäessä häviää tietoa mittaustarkkuudesta                           
    • Riittävä keino mittaustarkkuuden esittämiseen
11 \ \text {m/s} \cdot 10 \ \text s = 110 \ \text m \approx 100 \ \text m
11 \ \text {m/s} \cdot 5 \ \text s = 55 \ \text m \approx 60 \ \text m
11 \ \text {m/s} \cdot 14 \ \text s = 154 \ \text m \approx 150 \ \text m

Esim. Kappaleen kulkema matka, kun kappale liikkuu tasaisesti nopeudella 11 m/s 10 sekunnin ajan:

Merkitsevät numerot

  • Laskun tulos pyöristetään aina epätarkimman lähtöarvon mukaan
  • Epätarkin lähtöarvo on se, jossa on vähiten merkitseviä numeroita​
  • Merkitseviä numeroita ovat kaikki paitsi
    • Desimaaliluvun alussa olevat nollat
    • ​​​​Luvun lopussa olevat nollat, kun luvussa ei ole desimaalipilkkua

 

 

 

  • Vasta lopullinen vastaus pyöristetään, ei koskaan kesken laskun!
    • ​Välituloksissa aina enemmän desimaaleja tai merkitseviä numeroita kuin lopullisessa vastauksessa tarvitaan
0,000 \ 583
58 \ 300 \ 000
\text {vrt. }58 \ 300 ,000

Pohdi kaverin kanssa

Kuinka monta merkitsevää numeroa luvuissa on?

0,0008764
1730
1 \ 000 \ 000
45,3 \cdot 10^3
0,20

Laskeminen mitatuilla suureilla

  • Yhteen- ja vähennyslasku
    1. Kaikki lähtöarvot esitetään samoissa yksiköissä.
    2. Epätarkin lähtöarvo on se, jonka suuruusluokka on suurin.
    3. Vastauksen suuruusluokka on sama kuin epätarkimman lähtöarvon suuruusluokka.

 

 

  • Kerto- ja jakolasku
    1. Epätarkin lähtöarvo on se, jossa on vähiten merkitseviä numeroita.
    2. Vastauksessa on sama määrä merkitseviä numeroita kuin epätarkimmassa lähtöarvossa.
3,24 \ \text l + 13,2 \ \text {cl} = 324 \ \text {cl} + 13,2 \ \text {cl} = 337,2 \ \text {cl} \approx 337 \ \text {cl}
3,3 \ \text V \cdot 0,537 \ \text A = 1,7721 \ \text W \approx 1,8 \ \text W