6 Graafinen esittäminen

FY01 Fysiikka luonnontieteenä

Pohdi kaverin kanssa

Mikä on malli? Mitä tarkoitetaan mallintamisella?

Mainitse muutama malli, joita käytät arkielämässä.

Mainitse muutama malli, joihin olet törmännyt fysiikan tunnilla.

d \sin \theta = k \lambda
E = mc^2
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}

Kuva: Ilmatieteen laitos

Mallintaminen

  • Malli on approksimaatio (yksinkertaistus) todellisuudesta
    • Sillä on aina rajoitteita
  • Havaintoja ja mittaustuloksia selitetään käytössä olevien teorioiden ja mallien avulla
    • Mallit täydentävät toisiaan, korostavat ilmiön eri piirteitä
  • Graafisten mallien avulla nähdään suureiden välinen riippuvuus
    • Myös mittausvirheet tulevat helposti esiin
  • Matemaattisten mallien avulla pystytään tehdä ennusteita
    • Ennustuksen tekeminen on mahdollista, kun huomioidaan mallin pätevyysalue

Graafinen ja matemaattinen malli

  • Sarjamittauksessa graafista mallia käytetään mittaustulosten havainnollistamiseen ja suureiden välisten riippuvuuksien tutkimiseen
  • Esimerkiksi kuvaaja on graafinen malli
    • Sen pohjalta voidaan laatia matemaattinen malli (yhtälö / kaava / lauseke / määritelmä / laki)
\rho = \frac{m}{V}

Havainto: Massan ja tilavuuden suhde        on vakio

Päätelmä: Suoran kulmakerroin kertoo aineen tiheyden

m (g)

V (cm³)

\frac{\Delta m}{\Delta V}

Lineaariset ja epälineaariset mallit

  • Jos kahden suureen välistä riippuvuutta voidaan kuvata suoralla, on kyseessä lineaarinen malli
  • Jos suoraa ei voida sijoittaa mittauspisteiden kautta, vaan joudutaan piirtämään käyrä, on malli epälineaarinen

Kuvaaja eli graafi

  • Kuvaajan piirtämistä varten tulokset kirjataan ensin taulukkoon
  • Mittaustulokset sijoitetaan koordinaatistoon, jossa toinen tutkittavista suureista on vaaka-akselilla ja toinen pystyakselilla
    • Vaaka-akselille tulee se suure, jota on koejärjestelyssä muutettu
    • Pystyakselille tulee se suure, jonka arvon muuttuminen riippui vaaka-akselin suureen muutoksesta

Tilavuus vaaka-akselille ja massa pystyakselille

Graphical Analysis -ohjelmistossa suureen nimen ja yksikön saa merkittyä klikkaamalla kolmea pistettä ja valitsemalla Sarakkeen ominaisuudet

Fysiikan kuvaajissa mittauspisteet pitää aina olla näkyvissä!

Jos pisteet eivät näy, klikkaa Kuvaajan asetukset, valitse Muokkaa kuvaajan ominaisuuksia, laita ruksi kohtaan Pisteet ja ota ruksi pois kohdasta Viivat (ja Pylväät)

Graafinen tasoitus

  • Mittauspisteitä ei saa yhdistää murtoviivalla (GA:ssa ruksi kohdassa Viivat = murtoviiva)
    • Poikkeus: mittauspisteitä todella paljon lähekkäin (yli 100 kpl)
  • Mittauspisteiden kautta sovitetaan kulkemaan mahdollisimman hyvin sopiva suora tai käyrä eli tehdään graafinen tasoitus (sovite)
    • Kertoo, millainen riippuvuus suureiden välillä on​ (myös mittauspisteiden ulkopuolella)
    • Vähentää yksittäiseen mittauspisteeseen liittyvää virhettä
    • Kaikki tulkinta tehdään jatkossa sovituksesta, ei mittauspisteistä
  • ​Suoran kulmakertoimen avulla voidaan määrittää uusi suure
    • Fysikaalinen kulmakerroin

Jos mittauspisteet osuvat suoralle/käyrälle hyvin, on mittausvirhe (satunnaisvirhe) pieni.

Suoran yhtälö on muotoa

y = mx + b

kulmakerroin

vakiotermi

Mitkä ovat kulmakertoimen ja vakiotermin yksiköt?

keskineliöjuurivirhe

korrelaatio

Interpolointi ja ekstrapolointi

  • Laaditun mallin avulla voidaan tehdä ennusteita
  • Interpolointi: arvoja luetaan kuvaajalta havaintopisteiden väliltä
  • Ekstrapolointi: jatketaan kuvaajaa mittauspisteiden ulkopuolelle ja luetaan arvoja tästä jatkeesta (huomioi mallin pätevyysalue!)

Ekstrapolointi

Interpolointi

Säädä akselit klikkaamalla akseleiden ruuduissa olevia numeroita ja määrittämällä käsin pienin ja suurin arvo (tai säädä käsin Muokkaamalla kuvaajan ominaisuuksia).

Inter- tai ekstrapolointi: klikkaa Kuvaajan ominaisuudet ja laita Interpoloi-toiminto päälle. Voit tämän jälkeen liikuttaa kursoria sovitteen päällä.

Kuvaajan nimeämistapoja

  • Kun kuvaajassa tilavuus V on vaaka-akselilla ja massa m pystyakselilla, kuvaajaa voidaan kutsua
    • Tilavuus-massa -kuvaajaksi
    • (V, m)-kuvaajaksi
    • Kuvaajaksi, jossa massa on esitetty tilavuuden funktiona

Piirrä (a, F) -kuvaaja.

Piirrä aika-paikka -kuvaaja.

Esitä graafisesti lämpötila ajan funktiona.

Ohjeita graafisen mallin tekemiseen

  1. Valitse oikeanlainen kuvaaja, jotta mittauspisteet tulevat kuvaajaan näkyviin.
  2. Merkitse koordinaattiakseleille suureen tunnus tai nimi sekä yksikkö.
  3. Sovita mittauspisteisiin parhaiten istuva sovite. Mieti sovitteen fysikaalisuutta (huomioi graafisen mallin pätevyysalue).
  4. Valitse akseleiden jaotus siten, että mittaustulokset mahtuvat koordinaatistoon ja täyttävät sen mahdollisimman hyvin.
  5. Kuvaajan avulla voidaan interpoloida tai ekstrapoloida (huomioi pätevyysalue). Säädä tarvittaessa akseleiden asetuksia.
  6. Fysikaalinen kulmakerroin määritetään graafisesta tasoituksesta (sovituksesta). Kulmakerrointa ei koskaan saa laskea suoraan mittauspisteiden avulla!

Graphical Analysis -pikaohjeet (Pauliinan diat)

Kattavammat ohjeet (analysoi.fi)

Suoraan verrannollisuus ja lineaarinen riippuvuus

  • Suureiden välinen riippuvuus voidaan ilmaista yhtälönä eli matemaattisella mallilla
    • Yksinkertaisin tapaus on origon kautta kulkeva suora
  • Suoraan verrannollisuus on erikoistapaus lineaarisesta riippuvuudesta
    • Lineaarisessa riippuvuudessa suora ei välttämättä kulje origon kautta
  • Lineaarinen riippuvuus voidaan ilmaista yhtälöllä, joka on muotoa
y = kx + b
y = \text {pystyakselin arvo}
x = \text {vaaka-akselin arvo}
k = \text {suoran kulmakerroin}
b = \text {suoran pystyakselin leikkauspiste}

Fysikaalinen kulmakerroin

  • Fysiikassa suoran yhtälön muuttujat x ja y sekä parametrit k ja b ovat suureita
    • Merkitään vakiintuneilla suuretunnuksilla
  • Suoran kulmakertoimen avulla voidaan usein määrittää uusi suure
  • Fysikaalinen kulmakerroin ilmaisee suureiden välisen riippuvuussuhteen
  • Esimerkkinä massan m ja tilavuuden V välinen riippuvuus
\rho = \frac{m}{V}
\rho = \text {tiheys}
m = \text {massa}
V = \text {tilavuus}
[\rho]=\frac{[m]}{[V]}=\frac{\text {kg}}{\text m^3}

Kulmakerroin

y-akselin suure

x-akselin suure

Yksikkö:

m = \rho V

Tiheyden määritelmä:

Määritetään (V, m)-kuvaajasta mittauspisteisiin sovitettujen suorien kulmakertoimet.

\Delta m_{\text{Fe}}
\Delta V_{\text{Fe}}

Sen sijaan, että lasketaan käsin, voidaan hyödyntää ohjelmiston laskemaa suoran yhtälöä!

\Delta m_{\text{Al}}
\Delta V_{\text{Al}}

Vertaa suorien jyrkkyyttä ja kulmakertoimien arvoja. Mitä huomaat?

Etsi MAOL-taulukoista alumiinin ja raudan tiheydet ja vertaa niitä suoran kulmakertoimiin.

Mikä on kulmakertoimen yksikkö? Mikä suure saadaan kulmakertoimesta?

Esimerkkejä lineaarisesta riippuvuudesta

a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\rho = \frac{\Delta m}{\Delta V}

Nopeus

Kiihtyvyys

Tiheys

Suoran yhtälöt, jos ne kulkevat origon kautta:

x = vt
v = at
m = \rho V

Kuvat: Resonanssi 1 (e-Oppi)

Lineaarinen sovitus

  • Aina mittauspisteisiin sovitettu suora ei kulje origon kautta
    • Syynä esim. systemaattinen mittausvirhe tai mittausjärjestelyyn liittyvä asia (yhtälöön tulee mukaan vakiotermi)
  • Suoran ja pystyakselin leikkauspiste ei vaikuta suoran kulmakertoimeen
    • Kulmakerroin pitää aina määrittää sovituksesta, ei koskaan mittauspisteistä!
m = \rho V + m_0
x = vt + x_0

Kuvat: Resonanssi 1 (e-Oppi)