6 Paine

FY03 Energia ja lämpö

Pohdi kaverin kanssa

  • Miksi lumihangessa on helpompi kävellä lumikengillä kuin tavallisilla jalkineilla?
  • Kumpi tekee todennäköisemmin kuopan parkettilattiaan: norsu vai korkokenkä ihmisen jalassa?
  • Miksi terävällä veitsellä on helpompi leikata asioita kuin tylsällä?
  • Miksi piikkimatolla voi makoilla ilman, että ihoon tulee haavoja?
  • Miksi heikoilla jäillä pitää liikkua ryömimällä eikä kävellen?

Mekaaninen paine

  • Kun kahta kappaletta painetaan vastakkain, kosketuspinnan suuruus vaikuttaa tulokseen
  • Sama voima saa aikaan suuremman muodonmuutoksen (tai esim. tuntoaistimuksen), jos kosketuspinta on pieni
  • Ilmiötä kutsutaan paineeksi
p = \frac{F}{A}
[p] = \frac{[F]}{[A]} = \frac{\text N}{\text m^2} = \text {Pa}
F = \text {voima}
A = \text {pinta-ala}

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)

Esimerkki 1

Kumpi tekee todennäköisemmin kuopan parkettilattiaan: elefantti vai korkokenkä ihmisen jalassa?

 

Elefantin massa on 5 tonnia ja yhden jalan halkaisija on 40 cm. Ihmisen massa on 60 kg ja koron pinta-ala on 1 cm².

 

Voit olettaa, että elefantti kävelee siten, että 3 jalkaa on kerrallaan maassa. Tarkastele ihmisen kävelyssä tilannetta, jossa vain kengän korko osuu maahan.

Kirjataan lähtöarvot.

\text {koron pinta-ala} \ A_k = 1 \ \text {cm}^2 = 0,000 \ 1 \ \text {m}^2
\text {ihmisen massa} \ m_i = 60 \ \text {kg}
\text {putoamiskiihtyvyys} \ g = 9,81 \ \text {m/s}^2

Paineen määritelmän mukaan

p = \frac{F}{A}
= \frac{G}{A}
p_n = \frac{5000 \ \text {kg} \ \cdot \ 9,81 \ \text {m/s}^2}{3 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ (\frac{0,4 \ \text {m}}{2})^2}
p_n = 130 \ 109 \ \text {Pa} \approx 100 \ \text {kPa}
p_k = 5,886 \cdot 10^6 \ \text {Pa} \approx 6 \ \text {MPa}
\text {norsun jalan halkaisija} \ d_n = 40 \ \text {cm} = 0,4 \ \text {m}
\text {norsun massa} \ m_n = 5 \ \text t = 5000 \ \text {kg}

Elefantin ja koron pintaan kohdistuva paine on seurausta henkilöiden painosta, joka jakaantuu pintaa koskettavalle alalle.

= \frac{mg}{A}

Norsu:

p_n = \frac{m_n g}{3 \ \cdot \ \pi \ \cdot \ (\frac{d}{2})^2}

Korkokenkä:

p_k = \frac{m_i g}{A_k}
p_k = \frac{60 \ \text {kg} \ \cdot \ 9,81 \ \text {m/s}^2}{0,000 \ 1 \ \text {m}^2}

Vaurio parkettiin tulee todennäköisemmin korkokengällä.

Kaasun paine

  • Mikrotasolla suljetussa astiassa kaasumolekyylit törmäilevät toisiinsa ja astian seiniin ja kohdistavat astian pintaan paineen
    • Kaasu levittäytyy tasaisesti säiliön sisällä
    • Kaikkialla säiliössä ja täten myös kaasussa vallitsee sama paine
    • Voidaan puhua kaasupullon sisällä olevasta paineesta
  • Makrotasolla kaasu kohdistaa voiman säiliön seiniin
  • Kaasun paine voidaan määritellä samalla tavalla kuin mekaaninen paine eli
p = \frac{F}{A}

Kuva: Vipu 3 (Otava)

Paine-erovoima

  • Säiliön seinämien eri puolilla voi olla eri paine
  • Tällöin säiliön seinämään kohdistuu sisä- ja ulkopuolelta eri suuret voimat
  • Paine-eroista voidaan laskea säiliön seinämän kohdistuva kokonaisvoima
F_{\text {kok}} = \Delta pA
\Delta p = \text {paine-ero}
A = \text {säiliön pinta-ala}
F_{\text {kok}} = F_1 - F_2
F_{\text {kok}} = p_1A - p_2A
F_{\text {kok}} = (p_1 - p_2)A

Esimerkki 2

Potilaalla on lääketieteelliseen tarkoitukseen kotonaan happea pullossa, jonka sisällä on 15,2 MPa paine. Jos pullon ulkopuolella on normaali ilmanpaine, kuinka suuri ja minkä suuntainen voima happipulloon kohdistuu? Pullon pinta-ala on 4 100 cm².

\text {ilmanpaine} \ p_2 = 101 \ 325 \ \text {Pa}
\text {paine pullossa} \ p_1 = 15,2 \ \text {MPa} = 15,2\ \cdot 10^6 \ \text {Pa}
\text {pullon pinta-ala} \ A = 4100 \ \text{cm}^2 = 0,41 \ \text {m}^2

Ratkaistaan paineen määritelmästä lauseke voimalle.

p = \frac{F}{A} \Rightarrow F = pA

Ilmanpaine työntää happipulloa sen ulkopinnalta voimalla

Sisäpinnalta pulloon kohdistuu voima

Happipulloon kohdistuva kokonaisvoima on

F_2 = p_2A
F_1 = p_1A
F_{\text {kok}} = F_1 - F_2 = p_1A - p_2A = (p_1 - p_2)A
F_{\text {kok}} = (15,2\ \cdot 10^6 \ \text {Pa} - 101 \ 325 \ \text {Pa})\cdot 0,41 \ \text {m}^2
F_{\text {kok}} = 6,19046 \cdot 10^6 \ \text N \approx 6,2 \ \text {MN}
\text {kokonaisvoima} \ F_{\text {kok}}= \ ?

Voiman suunta on suuremman paineen tilasta kohti pienemmän paineen tilaa.

Paine-erot

  • Paine-erot pyrkivät aina tasoittumaan
    • Kaasuhiukkaset pyrkivät liikkumaan pienemmän paineen suuntaan
  • Jos paine on suurempi tai matalampi kuin ympäristössään, voidaan puhua yli- tai alipaineesta
    • Sääilmiöiden yhteydessä myös korkea- ja matalapaineesta

Kuva: Ilmatieteen laitos

Ilmanpaine

  • Ilma painaa maanpintaa painollaan ja aiheuttaa paineen
  • Normaalipaine 101 325 Pa (1013,25 hPa) (kts. NTP-olosuhteet)
  • Pienenee ylöspäin noustessa (vähemmän ilmaa yläpuolella)

Avaruus alkaa n. 100 km:n korkeudelta, missä ilmanpaine ≈ 0 hPa.

Kuva: Vipu 3 (Otava)

Normaali-ilmanpaine 101 325 Pa on

  • 1 atm (ilmakehä)
  • 1,013 25 bar (baari)
  • 760 mmHg (elohopeamillimetri)
  • 760 torr (torri)
  • 14,696 psi (paunaa per neliötuuma)

Nesteen paineen mittaus

Mitataan paineanturilla kokonaispainetta eri nesteissä eri syvyyksiltä. Piirretään mittaustuloksista (h, p)-kuvaaja.

Mikä suure voidaan määrittää suoran kulmakertoimen avulla?

Mitä saadaan suoran ja pystyakselin leikkauspisteestä?

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)

Nesteen paine

  • Paine nesteessä kasvaa tasaisesti syvemmälle mentäessä        
    • Enemmän nestettä tarkastelupisteen päällä      
  • Nestepatsaan paino G kohdistaa paineen p pinta-alalle A
p_h = \frac{\rho hAg}{A}
h = \text {nestepatsaan korkeus (syvyys nesteessä)}
\rho = \text {nesteen tiheys}
g = \text {putoamiskiihtyvyys}
  • Hydrostaattinen paine ph on siis                
p = \frac{F}{A} = \frac{G}{A} = \frac{mg}{A}
  • Nestepatsaan massa saadaan tiheyden avulla
\rho = \frac{m}{V} \ \Rightarrow m = \rho V = \rho hA
p_h = \rho gh

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)

Kokonaispaine

  • Jos sekä ilmanpaine että hydrostaattinen paine huomioidaan, voidaan laskea kappaleeseen kohdistuva kokonaispaine syvyydellä h
  • Kokonaispaine p on
p = p_0 + p_h
p = p_0 + \rho gh
p = \text {kokonaispaine}
p_0 = \text {ilmanpaine}
p_h = \text {hydrostaattinen paine}

Esimerkki 3

Kuinka suuri hydrostaattinen paine on 8,0 metriä syvän järven pohjassa? Entä mikä on kokonaispaine järven pohjassa?

 

Oleta, että järviveden lämpötila on 15 °C.

\text {järviveden syvyys} \ h = 8,0 \ \text {m}
\text {veden tiheys} \ \rho = 0,99910 \ \text {g/cm}^3 = 999,10 \ \text {kg/m}^3
\text {putoamiskiihtyvyys} \ g = 9,81 \ \text {m/s}^2
\text {hydrostaattinen paine} \ p_h = \ ?
\text {kokonaispaine} \ p = \ ?
\text {ilmanpaine} \ p_0 = 101 \ 325 \ \text {Pa}

Veden hydrostaattinen paine on

p = p_0 + \rho gh = 101 \ 325 \ \text {Pa} + 78 \ 409,368 \ \text{Pa}
p_h = 78 \ 409,368 \ \text{Pa} \approx 78 \ \text{kPa}

Kokonaispaine 8,0 metrin syvyydellä on

p_h = \rho gh
p_h = 999,10 \ \text {kg/m}^3 \cdot 9,81 \ \text {m/s}^2 \cdot 8,0 \ \text {m}
p = 179 \ 734,368 \ \text{Pa} \approx 180 \ \text{kPa}

Kuvaajan tulkinta

  • Kokonaispaineen mittauksessa mittauspisteet asettuvat suoralle
  • Yhtälö on muotoa
p = p_0 + \rho gh

Ilmanpaine p0 saadaan suoran ja pystyakselin leikkauspisteestä (vakiotermi)

Kulmakerroin on tiheyden ja putoamiskiihtyvyyden tulo (ρg)

(y = kx + b)

Kuva: Resonanssi 3 (e-Oppi)