Aalto-opin kertaus (FY05 ja FY07)

FY10 Kertausta abiturienteille

Jaksollinen liike

  • Aalto- ja värähdysliike on jaksollista liikettä
  • Jaksollisessa liikkeessä sama liikerata toistuu
  • Jaksonajan T kuluessa kappale käy liikeradan läpi kertaalleen
  • Taajuus f on toistuvien jaksojen lukumäärä aikayksikössä
f = \frac{1}{T}

Amplitudi on suurin poikkeama tasapainoasemasta.

Aallonpituus ilmoittaa kahden peräkkäisen samassa vaiheessa olevan kohdan matkaeron.

Aaltoliikkeen perusyhtälö

  • Aaltolähde tuottaa aaltoliikkeen ja antaa aaltoliikkeelle värähtelynopeuden eli taajuuden f
  • Aaltoliikkeen etenemisnopeus v riippuu väliaineesta
  • Aaltoliikkeen perusyhtälössä aaltolähde ja väliaine kytkeytyvät toisiinsa

 

 

 

  • Valolle yhtälö kirjoitetaan muodossa                                                    

 

 

  • Valon etenemisnopeus c riippuu väliaineesta, jossa valo kulkee     
    • Valonnopeus tyhjiössä on
v = f \lambda
c = f \lambda
f= \text {värähtelytaajuus}
\lambda= \text {aallonpituus}
v = \text {aallon etenemisnopeus}
2,998 \cdot 10^8 \ \text {m/s}

Mekaaninen ja sähkömagneettinen aaltoliike

  • Mekaanisen aaltoliikkeen tuottamiseen tarvitaan aaltolähde ja väliaine
    • Aaltoliike on värähtelijä, joka saa väliaineen värähdysliikkeeseen
    • Aaltoliike etenee väliaineessa sen rakenneosaselta toiselle
  • ​Sähkömagneettisen aaltoliikkeen synnyttää varattu hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä​
    • Poikittaista aaltoliikettä, joka ei tarvitse väliainetta etenemiseen

Aaltoliikkeen ominaisuuksia

  • Aaltoliike voi olla pitkittäistä tai poikittaista
    • Pitkittäisessä aaltoliikkeessä värähtely tapahtuu aaltoliikkeen etenemissuunnassa
    • Poikittaisessa aaltoliikkeessä värähtely tapahtuu kohtisuorassa suunnassa etenemissuuntaan nähden
  • Ilmassa etenevä ääni on pitkittäistä mekaanista aaltoliikettä
    • Ääni ei etene tyhjiössä
    • Äänen nopeus riippuu väliaineesta, jossa ääni etenee
  • Valo on poikittaista sähkömagneettista aaltoliikettä
    • Ei tarvitse väliainetta

Poikittainen aaltoliike

Pitkittäinen aaltoliike

\bar v
\bar v

Simulaatio aalloista langassa

Interferenssi

  • Interferenssi on aaltoliikkeen yhteisvaikutus
    • Toisensa kohtaavat aaltoliikkeet joko vahvistavat tai heikentävät toisiaan
    • Samassa vaiheessa olevat aallot vahvistavat toisiaan, vastakkaisessa vaiheessa heikentävät toisiaan
\Delta D = k \lambda
\Delta D = (k + 1/2) \lambda

Superpositioperiaate

Vahvistavat

Heikentävät

Diffraktio

  • Diffraktiossa aaltoliike taipuu esteen vaikutuksesta
  • Raon kohdalla värähtelevä aalto toimii uutena aaltolähteenä
    • Aallot etenevät ympyrä- tai palloaaltona joka suuntaan
  • Diffraktio voimistuu, kun raon leveys lähestyy aallonpituuden suuruutta

Tasoaalto

Ympyrä- tai palloaalto

Tasoaalto

Ympyräaalto

Leveä rako

Kapea rako

Aaltoliike rajapinnassa

  • Kahden väliaineen rajapinnassa aaltoliike heijastuu ja voi taittua
  • Heijastumisessa
    • Aaltoliike ei ylitä rajapintaa
    • Heijastuminen tapahtuu samassa kulmassa, jossa aaltoliike kohtaa rajapinnan

Heijastuslaki:

\alpha = \beta

Taittuminen rajapinnassa (mek. aalto)

  • Aaltoliikkeen suunnan muutos rajapinnassa riippuu, millä nopeudella aaltoliike etenee väliaineissa eri puolilla rajapintaa
  • Taittuminen rajapinnassa noudattaa taittumislakia
    • Nopeuksien suhde on taitesuhde
\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = n_{12}
n_{12}

Taittumislain tulkinta

  • Kun aaltoliike tulee aalto-opillisesti harvemmasta aineesta tiheämpään aineeseen,  aaltoliikkeen etenemisnopeus pienenee
    • Aaltoliike taittuu poispäin rajapinnasta kohti rajapinnan normaalia
  • Kun aaltoliike tulee aalto-opillisesti tiheämmästä aineesta harvempaan, aaltoliikkeen etenemisnopeus kasvaa
    • Aaltoliike taittuu kohti rajapintaa
v_1
v_2
v_1
v_2
n_{12} > 1
n_{12} < 1
\alpha_1 > \alpha_2
\alpha_1 < \alpha_2

Kokonaisheijastus

  • Kokonaisheijastuksessa aaltoliike ei läpäise rajapintaa, vaan ainoastaan heijastuu
  • Kokonaisheijastus voi tapahtua, kun aaltoliike tulee riittävän suuressa kulmassa aalto-opillisesti tiheämmästä aineesta harvempaan aineeseen
  • Kokonaisheijastuksen rajakulmalla (tulokulma) taittumiskulman suuruus on 90°
\alpha_1 < \alpha_2
\sin \alpha_r = n_{12}

Ääni

  • Äänen tuottamiseen tarvitaan
    • Värähtelevä äänilähde
    • Väliaine, jossa ääni (värähtely) siirtyy
  • Värähtelylle tarvitaan vastaanotin (esim. korva), jonka avulla ääni aistitaan
  • Ilmassa ääni on pitkittäistä aaltoliikettä
  • Ilman hiukkaset värähtelevät, jolloin syntyy paikallisia tihentymiä ja harventumia eli ilmanpaineen maksimeja ja minimejä
    • Äänen voimakkuus ilmenee paineen muutosten kautta

Seisova aaltoliike

  • Seisovassa aaltoliikkeessä aaltoliike ei etene
    • Aaltoliike heijastuu, ja heijastunut aalto vahvistaa värähtelyä tietyissä kohdissa ja heikentää sitä toisissa
  • Seisova aaltoliike voi syntyä lankaan tai putkeen
  • Seisova aaltoliike syntyy vain tietyillä taajuuksilla, ominaistaajuuksilla
  • Perustaajuus on pienin taajuus, jolla seisova aaltoliike syntyy

Solmu

Kupu

Seisova aaltoliike langassa

  • Langan kiinnityskohdat eivät liiku, joten ne ovat solmukohtia
  • Solmukohtien välissä lanka voi liikkua vapaasti, joten näihin kohtiin syntyy kupuja
  • Perustaajuudella lankaan syntyy yksi kupu
    • Yksi kupu muodostaa lankaan puolikkaan aallon
  • Muut ominaisvärähtelytaajuudet ovat ylävärähtelytaajuuksia
    • Ensimmäisellä ylävärähtelytaajuudella syntyy kokonainen aalto, toisella puolitoista aaltoa, ...
f_n = nf_1
n = 1, 2, 3, 4, ...

Seisova aaltoliike putkessa

  • Putkessa ilman värähtely synnyttää seisovan aaltoliikkeen
  • Putken suljetussa päässä ilmahiukkaset eivät liiku, joten siihen syntyy solmukohta​
    • Toisesta päästä avoimeen putkeen syntyy perustaajuudella neljäsosa-aalto
  • Putken avoimessa päässä ilmahiukkaset eivät pääsevät liikkumaan, joten siihen syntyy kupu
    • Molemmista päistä avoimeen putkeen syntyy perustaajuudella puolikas aalto

Ominaistaajuudet putkissa

f_1 = \frac{v}{4L}
f_n = (2n - 1)f_1
f_1 = \frac{v}{2L}
f_n = nf_1

Samalla tavoin käyttäytyvät päät (avoin putki)

Perustaajuus:

Ylävärähtelyt:

Perustaajuus:

Ylävärähtelyt:

Eri tavoin käyttäytyvät päät (puoliavoin putki)

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = \lambda f

Äänen spektri

  • Äänessä esiintyy useita taajuuksia
    • Yksinkertaisin ääni on äänes, jossa on vain yksi taajuus
    • Esim. äänirauta

Kitaran kielen värähtely

  • Kitaran kieli värähtelee usealla taajuudella eli kielen ominaistaajuuksilla

Perustaajuus

Ylävärähtelyt

Huojunta

  • Kahden lähekkäisen äänilähteen äänet yhdistyvät
  • Interferenssin tuloksena äänessä havaitaan jaksottaista muutosta eli huojuntaa
  • Huojuntataajuus on äänilähteiden taajuuksien erotus
f_{huojunta} = \left| f_1 - f_2 \right|

Äänilähteen teho ja intensiteetti

  • Äänilähteestä siirtyy äänen mukana energiaa ympäristöön
  • Siirtyvän energian määrää kuvataan äänilähteen tehon P ja äänen intensiteetin I avulla
  • Intensiteetti on teho pinta-alaa A kohden

 

 

  • Ääni etenee ympäristössä palloaaltona
    • Ympäristöön vapautuva ääni jakaantuu pallon kuorelle, joten pinta-ala on kuoren ala
I = \frac{P}{A}
A = 4 \pi r^2

Intensiteettitaso

  • Intensiteettitaso on äänen voimakkuutta kuvaava suure
    • Yksikkö on desibeli (dB)
  • Intensiteettitason L ja intensiteetin I välinen yhteys                           

 

 

  • Intensiteettiä verrataan intensiteetin nollatasoon            
  • Intensiteetin nollatason suuruus on                                                     

 

 

  • Äänen intensiteetin kaksinkertaistuminen vastaa noin 3 dB:n muutosta
L = 10 \lg \frac{I}{I_0}
I_0
I_0 = 10^{-12} \frac{\text W}{\text m^2} = 0 \ \text {dB}

Dopplerin ilmiö

  • Aaltolähde lähettää aaltoja joka suuntaan omalla värähtelytaajuudellaan
    • Liikkuvan aaltolähteen lähettämät aallot ilmenevät eri tavalla eri suunnissa
f = f_0 \frac{v+v_h}{v-v_l}

= lähetetty taajuus

= äänen nopeus

= havaitsijan nopeus

= äänilähteen nopeus

f_0
v
v_h
v_l
  • Dopplerin ilmiössä havaitsijan ja aaltoliikkeen liike toistensa suhteen muuttaa äänen taajuutta

GIF: stickmanphysics.com

Näkyvän valon spektri

  • Näkyvä valo on sähkömagneettista säteilyä, jonka ihmissilmä aistii
    • Aurinko säteilee voimakkaimmin näkyvän valon aallonpituuksia
  • Aallonpituudet ovat 400-700 nm
  • Ihminen erottaa eri aallonpituudet erilaisina väreinä
    • Musta pinta ei lähetä tai heijasta yhtään säteilyä
    • Valkoinen valo sisältää kaikkia aallonpituuksia
Väri Aallonpituus (nm)
violetti 400-450
sininen 450-490
vihreä 490-560
keltainen 560-590
oranssi 590-630
punainen 630-700

Valon diffraktio

  • Kun valo kulkee kapeasta raosta (lähellä valon aallonpituutta), havaitaan valon diffraktio eli valon taipuminen
  • Diffraktiota ei havaita, jos rako on leveä

Raon eri kohdista hieman eri matka varjostimelle

Aalloilla eri vaihe         aallot heikentävät toisiaan

Varjostimelle saapuvilla aalloilla sama vaihe

Aallot vahvistavat toisiaan

Diffraktio useasta raosta

  • Kaksoisraon tai hilan läpi kulkenut laservalo muodostaa pistemäisiä intensiteettimaksimeja varjostimelle
  • Intensiteettimaksimien kohdalla eri raoista kulkenut valo poikkeaa toisistaan aallonpituuden monikerran verran

Eri raoista kulkeneet valoaallot interferoivat

Samassa vaiheessa olevat valoaallot muodostavat varjostimelle intensiteettimaksimin (kirkas piste)

Intensiteettimaksimit hilassa tai kaksoisraossa

  • Intensiteettimaksimi muodostuu varjostimelle, jonka etäisyys raoista on hyvin suuri (~m) verrattuna valon aallonpituuteen (~nm)
  • Intensiteettimaksimien paikat saadaan selville hilayhtälöstä
d \sin \theta = k \lambda
\theta = \text {taipumiskulma}
d = \text {rakojen välimatka (hilavakio)}
\lambda = \text {valon aallonpituus}
k = \text {kertaluku } ( 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...)

Taipuminen riippuu valon aallonpituudesta ja hilavakiosta

Optinen tiheys ja Snellin laki

  • Kahden rajapinnan aineita vertaillaan toisiinsa optisen tiheyden avulla
    • Aineen optinen tiheys on suurempi toiseen aineeseen verrattuna, jos sen taitekerroin on suurempi
    • Tyhjiön taitekerroin on 1, muiden aineiden taitekertoimet ovat suurempia kuin 1​
  • Valon taittuminen noudattaa taittumislakia

 

 

  • Taittumislaista voidaan johtaa Snellin laki                                          
n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2
\alpha_1 = \text {tulokulma}
\alpha_2 = \text {taitekulma}
n_1 \ \text {ja} \ n_2 = \text {väliaineiden taitekertoimet}
\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{n_2}{n_1}

Valon kokonaisheijastus

  • Jos valo tulee riittävän suuressa kulmassa optisesti tiheämmästä aineesta optisesti harvempaan aineeseen, taittuu se rajapinnan suuntaisesti
    • Tällaista kulmaa kutsutaan kokonaisheijastuksen rajakulmaksi

 

 

 

 

 

  • Jos valon tulokulma on suurempi kuin kokonaisheijastuksen rajakulma, valo ei läpäise rajapintaa vaan kokonaisheijastuu
\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{n_2}{n_1}

Rajatapaus:

\alpha_2 = 90 \degree, \ \sin 90 \degree = 1
\sin \alpha_r= \frac{n_2}{n_1}

Valokuitu

  • Informaatiota voidaan siirtää valokuitua pitkin
  • Valokuidun toiminta perustuu kokonaisheijastukseen
    • Valo ei läpäise ytimen ja kuoren rajapintaa, vaan heijastuu
    • Informaatio ei katoa kokonaisheijastuksessa

Polarisaatio

  • Valo on poikittaista aaltoliikettä
  • Polarisaatiolla tarkoitetaan valon aaltoliikkeen värähtelysuuntien rajoittamista
    • Näytöt tai auringon valon heijastukset ovat polarisoitunutta valoa
  • Kahdella polarisoivalla kalvolla voidaan valon eteneminen estää kokonaan
    • Kalvot rajoittavat värähtelysuunnat kohtisuoraan toisiinsa nähden