Esimerkkitehtäviä ja malliratkaisuja

FY10 Kertausta abiturienteille

YO K21 T2 Pikajuoksu

Aineistossa 2.A on annettu väliajat Carl Lewisin 100 metrin maailmanennätysjuoksusta Tokiossa vuonna 1991.

2.1 Esitä kuvaaja Lewisin väliajoista hänen juoksemansa matkan funktiona. (5 p)

2.2 Mikä oli Lewisin väliaika 75 metrin kohdalla? (4 p)

2.3 Oletetaan, että Lewis olisi pystynyt 100 metrin jälkeen jatkamaan juoksuaan vauhtiaan muuttamatta. Mikä hänen loppuaikansa olisi tällöin ollut 200 metrin juoksussa? (6 p)

2.1 Esitä kuvaaja Lewisin väliajoista hänen juoksemansa matkan funktiona.

Entäpä sovitus?

Suora koko datasarjalle

Suora osalle mittauspisteitä

5. asteen polynomi (oma funktio)

YTL:n HVP tehty splinillä

Kuvaaja, jossa mittauspisteet ja sovite 5 p
Mittapisteitä puuttuu -2 p
Asteikossa tai akseleilla virheitä -1 p per virhe
Murtoviiva, suora, 2. asteen polynomi, puuttuva tasoitus -1 p

2.2 Mikä oli Lewisin väliaika 75 metrin kohdalla?

Tulos 7,55 s ... 7,84 s 2 p
Vastauksesta ilmenee periaate, jolla tulos on saatu 2 p
Jos tulos vain kuvassa -1 p
Yksikkö puuttuu tai väärä yksikkö = väärä tulos

Interpolointi suoralta:

Graphical Analysisissa Interpolaatio-työkalu
LibreOfficella akseleiden säätäminen (zoomaus) ja lukeminen kuvasta

Sovitetaan datan loppuosaan suora ja luetaan arvo suoralta. 75 metrin kohdalla Lewisin väliaika oli 7,7199 s ≈ 7,72 s.

2.3 Oletetaan, että Lewis olisi pystynyt 100 metrin jälkeen jatkamaan juoksuaan vauhtiaan muuttamatta. Mikä hänen loppuaikansa olisi tällöin ollut 200 metrin juoksussa?

Suora millä tahansa välillä 10 m ... 100 m, siitä loppunopeus tai kulmakerroin 2 p
Esitetty lasku / periaate lopputulokselle 2 p
Tulos 18,33 s ... 18,78 s (3–4 merkitsevää numeroa) 2 p

Ekstrapoloidaan suoraa.

200 metrin kohdalla Lewisin väliaika olisi 18,4308 s ≈ 18,43 s.

Voi myös laskea suoran yhtälöllä

t(x) = 0,08565 \ \text s/ \text m \cdot x + 1,304 \ \text s

missä 0,08565 s/m on suoran kulma-kerroin ja 1,304 s pystyakselin leikkauspiste.

Siis sijoitetaan x = 200 m.

Esimerkki: lämpöenergia

Kuinka paljon lämpöenergiaa tarvitaan muuttamaan 3,0 kg jäätä, jonka lämpötila on –15 °C, vesihöyryksi, jonka lämpötila on 120 °C?

Vesihöyryn ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa on

c_p = 2,00 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg} \cdot \degree \text C}

Oletetaan, että kyseessä on eristetty systeemi. Tällöin jäälle luovutettu energia on yhtä suuri kuin vastaanotettu energia.

Vastaanotettu energia menee seuraaviin prosesseihin:

Jää lämpenee
Jää sulaa
Nestemäinen vesi lämpenee
Vesi höyrystyy
Vesihöyry lämpenee

Lasketaan siis jokaiseen prosessiin tarvittava energia ja lopulta niiden summa.

Jään lämmitys –15 °C 0 °C:

Q_1 = c_{\text {jää}} m \Delta T_{\text {jää}} (= 2,09 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg} \cdot \degree \text C} \cdot 3,0 \ \text {kg} \cdot 15 \ \degree \text C = 94,05 \ \text {kJ})

Q_2 = s_{\text {jää}} m (= 333 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg}} \cdot 3,0 \ \text {kg} = 999 \ \text {kJ})

Q_3 = c_{\text {vesi}} m \Delta T_{\text {vesi}} (= 4,19 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg} \cdot \degree \text C} \cdot 3,0 \ \text {kg} \cdot 100 \ \degree \text C = 1257 \ \text {kJ})

Q_4 = r_{\text {vesi}} m (= 2260 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg}} \cdot 3,0 \ \text {kg} = 6780\ \text {kJ})

Q_5 = c_{\text {vesihöyry}} m \Delta T_{\text {vesihöyry}} (= 2,00 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg} \cdot \degree \text C} \cdot 3,0 \ \text {kg} \cdot 20 \ \degree \text C = 120 \ \text {kJ})

Q = Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5 = 9250,05 \ \text {kJ} \approx 9,3 \ \text {MJ}

Jään sulatus 0 °C:

Veden lämmitys 0 °C 100 °C:

Veden höyrystys 100 °C:

Höyryn lämmitys 100 °C 120 °C:

Tarvittava lämpöenergia yhteensä:

YO S22 T4.1 Kirurginen polttolaite

Kirurgista diatermialaitetta eli polttolaitetta käytetään muun muassa luomien poistossa sekä verenvuotojen tyrehdyttämisessä. Polttoprosessissa laitteella johdetaan korkeataajuuksista vaihtovirtaa kudosalueen läpi, jolloin kudos käyttäytyy vaihtovirran korkean taajuuden takia vastuksen tavoin.

Kuvassa 4.A on esitetty bipolaarinen diatermialaite. Tarkastellaan kirurgista toimenpidettä, jossa käytettävä diatermialaite tuottaa sinimuotoista vaihtovirtaa 58 watin teholla.

4.1 Toimenpiteessä lämmitetään ensin 1,1 g kudosnestettä ruumiinlämmöstä (37 °C) kiehumispisteeseen. Tämän jälkeen 0,40 g tästä kudosnesteestä höyrystyy. Kuinka kauan toimenpide kestää? Kudosneste on pääosin vettä. (7 p)

Kuva: YTL

Oletetaan eristetty (tai suljettu) systeemi. Tällöin polttolaitteen luovuttama energia menee kudosnesteen lämmittämiseen ja höyrystämiseen.

Q_{\text {luovutettu}} = Q_{\text {vastaanotettu}}

\Rightarrow Q_{\text {polttolaite}} = Q_{\text {lämmitys}} + Q_{\text {höyrystys}}

Pt = c_{\text {vesi}} m_1 \Delta T + r_{\text {vesi}} m_2

Nyt yhtälöstä voidaan ratkaista lauseke ajalle.

t = \frac{ c_{\text {vesi}} m_1 \Delta T + r_{\text {vesi}} m_2}{P}

t = \frac{4190 \ \frac{\text J}{\text {kg \degree C}} \ \cdot \ 1,1 \ \cdot \ 10^{-3} \ \text {kg} \ \cdot \ (100 \degree \text C \ - \ 37 \degree \text C) \ + \ 2,26 \ \cdot \ 10^6 \ \frac{\text J}{\text {kg}} \ \cdot \ 0,40 \ \cdot 10^{-3} \ \text {kg}}{58 \ \text W}

t = 20,5925 \ \text s \approx 21 \ \text s

Polttolaitteen luovuttama energia saadaan tehon määritelmästä:

P = \frac{E}{t} \Rightarrow E = Pt

Yhtälöksi saadaan siis

2 p (tehon suureyhtälö)

2 p

Hyväksyttiin tulokset välillä 20,0 s ... 21,0 s 1–3 merkitsevällä numerolla

3 p (lämmityksen ja höyrystymisen suureyhtälöt)

Esimerkki: loppulämpötila

1,3 litraa 45-asteista ja 2,5 litraa 82-asteista vettä sekoitetaan toisiinsa. Mikä on seoksen loppulämpötila? Lämmönvaihto ympäristön kanssa oletetaan mitättömäksi.

\text {kylmän lämpötila alussa} \ T_1 = 45 \ \degree \text C

\text {veden ominaislämpökapasiteetti} \ c = 4190 \ \frac{\text J}{\text {kg} \ \cdot \degree \text C}

\text {veden 1 tilavuus} \ V_1 = 1,3 \ \text l \ ( = 0,0013 \ \text {m}^3 )

Systeemi on eristetty, joten kuuman veden luovuttama lämpö on yhtä suuri kuin kylmän veden vastaanottama lämpö.

Q_{\text {kylmä vesi}} = Q_{\text {kuuma vesi}}

\text {kuuman lämpötila alussa} \ T_2 = 82 \ \degree \text C

\text {vesiseoksen lämpötila lopussa} \ T = \ ?

\text {veden 2 tilavuus} \ V_2 = 2,5 \ \text l \ ( = 0,0025 \ \text {m}^3)

cm_1 \Delta T_1 = cm_2 \Delta T_2

\rho V_1 (T-T_1) = \rho V_2 (T_2-T)

V_1T - V_1T_1 = V_2T_2 - V_2T

V_1T + V_2T = V_1T_1 + V_2T_2

(V_1 + V_2)T = V_1T_1 + V_2T_2

T = \frac{V_1T_1 + V_2T_2}{V_1 + V_2}

T = \frac{1,3 \ \text l \ \cdot \ 45 \ \degree \text C \ + \ 2,5 \ \text l \ \cdot \ 82 \ \degree \text C}{1,3 \ \text l \ + \ 2,5 \ \text l}

T = 69,3421 \ \degree \text C

\parallel m = \rho V

T \approx 69 \ \degree \text C

Yhtälön ratkaisu CAS-laskimella (TI)

Jos ratkaiset yhtälöt laskimella, kirjoita alkuperäinen yhtälö, tuntemattoman suhteen ratkaistu lauseke, sijoitus (tai vähintään lähtöarvojen listaus) sekä vastaus selkeästi kaavaeditorilla! Kuvakaappaus laskimesta ei riitä!

YO S14 T3 (lämpölaajeneminen)

Suomessa käytettiin aikaisemmin junaraiteita, joissa peräkkäisten kiskojen väliin jätettiin lämpölaajenemisvara. Kiskojen lämpötilan oletetaan vaihtelevan vuodenaikojen mukaan –35,0 °C:n ja 55,0 °C:n välillä. Teräskiskon pituus on 15,00 m lämpötilassa 22 °C.

a) Kiskoja asennettaessa lämpötila on 15,0 °C. Kuinka pitkä rako peräkkäisten kiskojen väliin on asennuksessa jätettävä, kun äärimmillään kiskojen päät juuri ja juuri koskettavat toisiaan oletetulla lämpötilan vaihteluvälillä, mutta ne eivät saa puristua toisiaan vasten? (4 p)

b) Oletetaan, että kiskon lämpötila vaihtelee eri vuodenaikoina määritettyjen äärilämpötilojen välillä. Kuinka paljon kiskon pituus vaihtelee enimmillään vuoden aikana? (2 p)

\text {alin lämpötila} \ T_{\text {min}} = -35,0 \ \degree \text C

\text {teräksen lämpötilakerroin} \ \alpha = 12 \cdot 10^{-6} \ \frac{1}{\degree \text C}

\text {ylin lämpötila} \ T_{\text {max}} = 55,0 \ \degree \text C

\text {lämpötila vertailuhetkellä} \ T_0 = 22,0 \ \degree \text C

\text {teräskiskon pituus vertailuhetkellä} \ l_0 = 15,00 \ \text m

\text {lämpötila asennushetkellä} \ T_1 = 15,0 \ \degree \text C

a) Kisko lämpölaajenee lämpötilan noustessa ja kutistuu lämpötilan laskiessa. Asennuslämpötilassa 15,0 °C kiskon pituus on

l _1 = l_0 + l_0 \alpha \Delta T

= l_0 + l_0 \alpha (T_1 - T_0)

Ratakisko on pisimmillään lämpötilassa Tmax = 55,0 °C. Ratkaistaan kuinka paljon kiskon pituus lämpölaajenee, kun lämpötila nousee 15,0 °C:sta 55,0 °C:een.

\Delta l = l _{\text {max}} - l_1

= l_1 \alpha (T_{\text {max}} - T_1)

\Delta l = [l_0 + l_0 \alpha (T_1 - T_0)] \alpha (T_{\text {max}} - T_1)

\Delta l = l_0 \alpha (T_{\text {max}} - T_1) [1+\alpha (T_{\text {max}} - T_0)]

Koska asennus tapahtuu 15,0 °C:n lämpötilassa, on pituus l1 uusi "alkuperäinen" pituus lämpölaajenemisen mallissa.

\Delta l = 15,00 \ \text m \cdot 12 \cdot 10^{-6} \ \frac{1}{\degree \text C} \cdot (55,0 \ \degree \text C - 15,0 \ \degree \text C) \cdot [1 + 12 \cdot 10^{-6} \ \frac{1}{\degree \text C} \cdot (55,0 \ \degree \text C - 22,0 \ \degree \text C)]

\Delta l = 0,00719939 \ \text m \approx 7,2 \ \text {mm}

1 p

2 p

1 p

\Delta l= l_0 \alpha (T_{\text {max}} - T_1)

max. 3 p

\text {alin lämpötila} \ T_{\text {min}} = -35,0 \ \degree \text C

\text {teräksen lämpötilakerroin} \ \alpha = 12 \cdot 10^{-6} \ \frac{1}{\degree \text C}

\text {ylin lämpötila} \ T_{\text {max}} = 55,0 \ \degree \text C

\text {lämpötila mittaushetkellä} \ T_0 = 22,0 \ \degree \text C

\text {teräskiskon pituus mittaushetkellä} \ l_0 = 15,00 \ \text m

\text {lämpötila asennushetkellä} \ T_1 = 15,0 \ \degree \text C

Lyhimmillään ratakisko on lämpötilassa Tmin = –35,0 °C ja pisimmillään lämpötilassa Tmax = 55,0 °C.

Ratkaistaan kiskon pituuden lyhenemä ja pitenemä vertailupituudesta l0.

\Delta l_{\text {lyh}} = l_0 \alpha (T_{\text {min}} - T_0)

\Delta l_{\text {pit}} = l_0 \alpha (T_{\text {max}} - T_0)

Vuoden aikana kiskon pituuden muutos on enimmillään

\Delta l = \Delta l_{\text {pit}} - \Delta l_{\text {lyh}}

= l_0 \alpha (T_{\text {max}} - T_0) - l_0 \alpha (T_{\text {min}} - T_0)

\Delta l= l_0 \alpha (T_{\text {max}} - T_{\text {min}})

\Delta l= 15,00 \ \text m \cdot 12 \cdot 10^{-6} \ \frac{1}{\degree \text C} \cdot (55,0 \ \degree \text C - (-35,0 \ \degree \text C)) = 0,0162 \ \text m \approx 16 \ \text {mm}

Perustelut Δl:n lausekkeelle 1 p

Oikea vastaus 1 p

Esimerkki: ideaalikaasu

Veden lämpötila on 25 metrin syvyydessä 6,0 °C. Kaasukupla, jonka tilavuus on 5,0 mm³, nousee pintaan.

Kuinka suuri kupla on juuri ennen pintaa, jossa veden lämpötila on 13 °C ?

Oletetaan, että kaasukupla nousee sen verran hitaasti, että vesi ehtii lämmittää sen.

Olosuhteet 25 metrin syvyydessä:

\text {lämpötila} \ T_1 = 6,0 ° \text C = 279,15 \ \text K

\text {paine} \ p_1 = p_0 + \rho gh = 101 \ 325 \ \text {Pa} + 1000 \ \text {kg/m}^3 \cdot 9,81 \ \text {m/s}^2 \cdot 25 \ \text m

\text {tilavuus} \ V_1 = 5,0 \ \text {mm}^3 = 5,0 \cdot 10^{-9} \ \text m^3

Olosuhteet veden pinnalla:

\text {lämpötila} \ T_2 = 13,0 ° \text C = 286,15 \ \text K

\text {paine} \ p_2 = p_0 = 101 \ 325 \ \text {Pa}

\text {tilavuus} \ V_2 = \ ?

ilmanpaine (NTP-oloissa)

hydrostaattinen paine

Lämpötila kelvineinä!

Kaasukuplaa voidaan tarkastella suljettuna systeeminä, jolloin kaasun ainemäärä ei muutu (ideaalikaasu). Suljetun kaasusysteemin tilanyhtälön (ideaalikaasun tilanyhtälön) mukaan

\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}

Ratkaistaan yhtälöstä tilavuus veden pinnalla.

V_2 = \frac{p_1V_1T_2}{p_2T_1}

V_2 = \frac{(101 \ 325 \ \text {Pa} \ + \ 1000 \ \text {kg/m}^3 \ \cdot \ 9,81 \ \text {m/s}^2 \ \cdot \ 25 \ \text m) \ \cdot \ 5,0 \ \cdot \ 10^{-9} \ \text m^3 \ \cdot \ 286,15 \ \text K}{101 \ 325 \ \text {Pa} \ \cdot \ 279,15 \ \text K}

V_2 = 1,75402 \cdot 10^{-8} \ \text m^3

V_2 \approx 18 \ \text {mm}^3

\frac{286,15 \ \text K}{279,15 \ \text K} \neq \frac{13,0 \ ° \text C}{6,0 \ ° \text C}

Lämpötila kelvineinä!

Esimerkki: sisäenergia

Vesihöyryä lämmitetään 127 kPa:n vakiopaineessa lämpötilasta 120 °C lämpötilaan 135 °C. Lämmityksen aikana vesihöyry laajenee 380 cm³. Vesihöyryä on 7,0 g, ja sen ominaislämpökapasiteetti on .

Kuinka paljon vesihöyryn sisäenergia muuttuu?

2,0 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg °C}}

\text {paine} \ p = 127 \ \text {kPa} = 127 \ 000 \ \text {Pa}

\text {tilavuuden muutos} \ \Delta V = 380 \ \text {cm}^3 = 380 \cdot 10^{-6} \ \text {m}^3

\text {vesihöyryn massa} \ m = 7,0 \ \text {g} = 0,0070 \ \text {kg}

\text {vesihöyryn ominaislämpökapasiteetti} \ c = 2,0 \ \frac{\text {kJ}}{\text {kg °C}} = 2000 \ \frac{\text {J}}{\text {kg °C}}

\text {lämpötilan muutos} \ \Delta T = 135 \degree \ \text {C} - 120 \degree \ \text {C} = 15 \degree \ \text {C}

Lämpöopin 1. pääsäännön mukaan

\Delta U = Q - W

\Delta U = cm \Delta T - p \Delta V

Vesihöyry lämpenee

Vesihöyry laajenee

\Delta U = 2000 \ \frac{\text {J}}{\text {kg °C}} \cdot 0,0070 \ \text {kg} \cdot 15 \degree \ \text {C} - 127 \ 000 \ \text {Pa} \cdot 380 \cdot 10^{-6} \ \text {m}^3

\Delta U = 161,74 \ \text J

\Delta U \approx 160 \ \text J

YO S22 T10.4 Saippuakuplat

Fyysikko huomaa, että yksi kuplista leijuu paikallaan tyynessä ilmassa. Saippuaveden tiheydeksi oletetaan ja kuplan sisällä olevan ilman lämpötilaksi 26 °C. Ulkoilman lämpötila on 21 °C ja kuplan säde 5,0 cm. Määritä näillä tiedoilla kuplan kalvon paksuus. Ilman oletetaan olevan 79 % typpeä ja 21 % happea myös kuplan sisällä. (8 p)

1,0 \cdot 10^3 \ \frac{\text {kg}}{\text m^3}

Piirretään saippuakuplan voimakuvio. Kupla leijuu paikallaan, joten voimat ovat tasapainossa.

Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = \overline 0

\overline N + \overline G = \overline 0

N = G

\rho_{\text {ilma}} V_{\text {kupla}} g = m_{\text {kupla}}g

\rho_{\text {ilma}} V_{\text {kupla}} = m_{\text {kupla}}

Tätäkin kautta ratkaisuun päästään, mutta johtaa ehkä helpommin ajatusten umpikujaan kuin toinen tapa, jossa tutkitaan saippuakuplan syrjäyttämää ilmaa.

Arkhimedeen lain mukaan saippuakuplaan kohdistuva noste on yhtä suuri kuin syrjäytetyn ilman paino.

Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = \overline 0

\overline N + \overline G = \overline 0

N_{\text {kupla}} = G_{\text {kupla}}

G_{\text {syrjäytetty}} = G_{\text {kupla}}

m_{\text {syrjäytetty}} g = m_{\text {ilma}} g + m_{\text {vesi}}g

m_{\text {syrjäytetty}} = m_{\text {ilma}} + m_{\text {vesi}}

\rho_{\text {ilma}}V_{\text {kupla}} = m_{\text {kupla}} \Rightarrow \rho_{\text {ilma}}V_{\text {syrjäytetty}} = m_{\text {kupla}} \Rightarrow m_{\text {syrjäytetty}} = m_{\text {kupla}}

Edellisen kalvon yhtälö nosteen määritelmän kautta johtaa samaan ratkaisuun:

Ainemäärän määritelmän mukaan

n = \frac{m}{M} \Rightarrow m = nM

Ilma käyttäytyy tehtävän olosuhteissa kuten ideaalikaasu, joten ideaalikaasun tilanyhtälön mukaan

pV = nRT \Rightarrow n = \frac{pV}{RT}

Nyt massojen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

\frac{pV_{\text {syrj.}}}{RT_{\text {syrj.}}}M_{\text {ilma}} = \frac{pV_{\text {ilma}}}{RT_{\text {kupla}}}M_{\text {ilma}} + \rho_{\text {vesi}}V_{\text {vesi}}

m_{\text {syrjäytetty}} = m_{\text {ilma}} + m_{\text {vesi}}

\parallel \rho_{\text {vesi}} = \frac{m_{\text {vesi}}}{V_{\text {vesi}}} \Rightarrow m_{\text {vesi}} = \rho_{\text {vesi}} V_{\text {vesi}}

\frac{pV}{RT_{\text {syrj.}}}M_{\text {ilma}} = \frac{pV}{RT_{\text {kupla}}}M_{\text {ilma}} + \rho_{\text {vesi}}4\pi r^2d

Koska kuplan säde r on merkittävästi suurempi kuin kalvon paksuus d eli d << r, on kalvon tilavuus

V_{\text {vesi}} = A_{\text {kalvo}}d = 4\pi r^2d

Vastaavasti syrjäytetyn ilman tilavuus voidaan olettaa samaksi kuin kuplan ilman tilavuus.

V_{\text {syrj.}} = V_{\text {ilma}} = V = \frac{4}{3}\pi r^3

Nyt siis saadaan

\frac{p \ \cdot \ \frac{4}{3}\pi r^3}{RT_{\text {syrj.}}}M_{\text {ilma}} = \frac{p \ \cdot \ \frac{4}{3}\pi r^3}{RT_{\text {kupla}}}M_{\text {ilma}} + \rho_{\text {vesi}}4\pi r^2d

Ratkaistaan nyt yhtälöstä kalvon paksuus d.

\frac{p \ \cdot \ \frac{4}{3}\pi r^3}{RT_{\text {syrj.}}}M_{\text {ilma}} - \frac{p \ \cdot \ \frac{4}{3}\pi r^3}{RT_{\text {kupla}}}M_{\text {ilma}} = \rho_{\text {vesi}}4\pi r^2d

\frac{\frac{4}{3} \pi r^3 p M_{\text {ilma}}}{R} (\frac{1}{T_{\text {syrj.}}} - \frac{1}{T_{\text {kupla}}}) = \rho_{\text {vesi}}4\pi r^2d

\frac{r p M_{\text {ilma}}}{3R} (\frac{1}{T_{\text {syrj.}}} - \frac{1}{T_{\text {kupla}}}) = \rho_{\text {vesi}} d

d = \frac{r p M_{\text {ilma}}}{3\rho_{\text {vesi}} R} (\frac{1}{T_{\text {syrj.}}} - \frac{1}{T_{\text {kupla}}})

Sijoitetaan lukuarvot.

d = \frac{r p M_{\text {ilma}}}{3\rho_{\text {vesi}} R} (\frac{1}{T_{\text {syrj.}}} - \frac{1}{T_{\text {kupla}}})

\text {saippuaveden tiheys} \ \rho_{\text {vesi}} = 1,0 \cdot 10^3 \ \frac{\text {kg}}{\text m^3}

\text {kuplan säde} \ r = 5,0 \ \text {cm} = 0,050 \ \text m

\text {ilmanpaine} \ p = 101 \ 325 \ \text {Pa}

\text {moolinen kaasuvakio} \ R = 8,3145 \ \frac{\text {Pa} \cdot \text m^3}{\text {mol} \cdot \text K}

\text {kuplan ulkopuolen lämpötila} \ T_{\text {syrj.}} = 21 \ \degree \text C = 294,15 \ \text K

\text {kuplan sisäpuolen lämpötila} \ T_{\text {kupla}} = 26 \ \degree \text C = 299,15 \ \text K

d = 3,32841 \cdot 10^{-7} \ \text m

d \approx 330 \ \text {nm}

\text {ilman moolimassa} \ M_{\text {ilma}} = 0,21 \cdot M_{\text O_2} + 0,79 \cdot M_{\text N_2} = 0,21 \cdot 32,0 \ \frac{\text g}{\text {mol}} + 0,79 \cdot 28,0 \ \frac{\text g}{\text {mol}}

Pisteytys:

Selitetty sanallisesti tai suureyhtälöillä, että kuplan massa koostuu kuplan sisältämästä ilmasta sekä kalvon vedestä 2 p
Tätä massaa käyttämällä esitetty kuplan leijailemisehto nosteen ja painovoiman avulla 2 p
Sanallisesti mainittu ideaalikaasun tilanyhtälö ja käytetty sitä kuplan sisältämän ilman massan määrittämiseen 2 p
Oikea lukuarvo kalvon paksuudelle (1–3 merkitsevää) 2 p

YO S24 T3 Ilmalämpöpumppu

Taloa jäähdytetään kuumana kesäpäivänä ilmalämpöpumpulla, joka siirtää lämpöä talon sisältä ulkoilmaan. Jäähdytyksen ansiosta talon sisälämpötila on 21 °C, kun ulkoilman lämpötila on 25 °C. Taloa jäähdyttävän ilmalämpöpumpun suorituskyky on 3,2. Lämpöpumppu kuluttaa tunnin aikana 1,6 kWh sähköenergiaa.

Ilmalämpöpumpussa on sisäyksikkö ja ulkoyksikkö. Talon ulkoseinään kiinnitetty ulkoyksikkö tekee työn lämmön siirtämiseen sisältä ulos. Ilmalämpöpumpun energiavirrat on esitetty kuvassa 3.A. Ilmalämpöpumpun suorituskyky jäähdytyksessä on talosta lämpönä pois siirretyn energian suhde tarvitsemaan sähköenergiaan.

3.1 Kuinka paljon lämpöä (yksikkönä kWh) siirtyy pois talosta tunnissa? (5 p)

3.2 Kuinka paljon lämpöä (yksikkönä kWh) siirtyy ulkoilmaan tunnissa? (5 p)

3.3 Ulkoilman lämpötila nousee 32 °C:een. Kuinka suuri lämpöpumpun sähkötehon tulee olla, jos talon sisälämpötilana halutaan edelleen pitää 21 °C? Voit olettaa, että lämpöpumpun suorituskyky ei riipu lämpötilasta. Voit olettaa myös, että lämpöä siirtyy taloon ulkoilmasta vain johtumalla ja johtumisen teho on verrannollinen lämpötilaeroon. (5 p)

3.1

Tehtävänannosta: Ilmalämpöpumpun suorituskyky jäähdytyksessä on talosta lämpönä pois siirretyn energian (Q0) suhde pumpun tarvitsemaan sähköenergiaan (W).

\varepsilon = \frac{Q_0}{W}

Q_0 = \varepsilon W

Q_0 = 3,2 \cdot 1,6 \ \text {kWh}

Q_0 = 5,12 \ \text {kWh}

Ilmalämpöpumpun energiavirrat

Kylmä säiliö

Lämmin säiliö

Energia pois sisältä

Energia ulos

Koneen työ (sähköenergia)

Q_0 \approx 5,1 \ \text {kWh}

Q_0 + W = Q_1

2 p

3 p

Kuva: YTL

3.2

Termodynamiikan 1. pääsäännön mukaan talosta ulkoilmaan siirtynyt lämpö on

Ilmalämpöpumpun energiavirrat

Kylmä säiliö

Lämmin säiliö

Energia pois sisältä

Energia ulos

Koneen työ (sähköenergia)

Q_1 \approx 6,7 \ \text {kWh}

Q_0 + W = Q_1

Q_1 = \varepsilon W + W

Q_1 = 5,12 \ \text {kWh} + 1,6 \ \text {kWh}

Q_1 = 6,72 \ \text {kWh}

Pisteytys:

Perusteltu joko termodynamiikan 1. pääsäännön, energian säilymislain tai aineiston kuvan avulla 2 p
Esitetty lämmölle oikea suureyhtälö 2 p
Oikea vastaus (2–3 merkitsevää numeroa) 1 p

Q_1 = Q_0 + W

Kuva: YTL

P \sim \Delta T

\frac{P_{\text {vanha}}}{P_{\text {uusi}}} = \frac{\Delta T_{\text {vanha}}}{\Delta T_{\text {uusi}}}

Jotta talon sisälämpötila ei muuttuisi, tulee pumpun siirtää lämpöä talosta yhtä suurella teholla kuin sitä johtuu ulkoa sisään.

Lämmönjohtumisen teho talon ja ulkoilman välillä on suoraan verrannollinen lämpötilaeroon: P = UAΔT, missä U on lämmönläpäisykerroin ja A johtumisen pinta-ala.

Olennainen tieto tehtävänannossa: Johtumisen teho on suoraan verrannollinen lämpötilaeroon.

\Rightarrow P_{\text {uusi}} = P_{\text {vanha}} \frac{\Delta T_{\text {uusi}}}{\Delta T_{\text {vanha}}}

P_{\text {vanha}} = \frac{W}{t} = \frac{1,6 \ \text {kWh}}{1 \ \text h} = 1,6 \ \text {kW}

\Delta T_{\text {vanha}} = 25 \ \degree \text C - 21 \ \degree \text C = 4 \ \degree \text C

\Delta T_{\text {uusi}} = 32 \ \degree \text C - 21 \ \degree \text C = 11 \ \degree \text C

P_{\text {uusi}} = 1,6 \ \text {kW} \cdot \frac{11 \ \degree \text C}{4 \ \degree \text C}

Alkuperäinen teho (matalammassa ulkolämpötilassa) saadaan tehtävänannon tiedoista. Tehon määritelmän mukaan

Ratkaistaan nyt uusi teho (korkeammassa ulkolämpötilassa).

P_{\text {uusi}} = 4,4 \ \text {kW}

Pisteytys:

On esitetty kysytylle teholle tai tunnissa tehtävälle työlle ratkaistu suureyhtälö, josta näkyy oikea riippuvuus lämpötilaeroista 2 p
Itseisarvoltaan oikea vastaus teholle (2–3 merkitsevää numeroa) 3 p

YO K21 T5.1 Voimat/Pyöräilijä

Pyöräilijä kasvattaa nopeuttaan vaakasuoralla tiellä.

Valitse annetuista voimakuvioista A–F se, joka parhaiten kuvaa pyörään ja pyöräilijään vaikuttavia ulkoisia voimia. Nimeä tähän voimakuvioon piirretyt voimat.

Kuvassa vaakasuorat ja pystysuorat voimanuolet sekä niihin liittyvät tunnukset on merkitty selkeyden vuoksi eri väreillä. (9 p)

Pyöräilijä kasvattaa nopeuttaan, jolloin hän kiihtyy oikealle.

Pyörään ja pyöräilijään kohdistuu paino (F8), joka alkaa painopisteestä ja osoittaa kohti Maan keskipistettä. Täten voidaan hylätä voimakuvio D (F9 ja F10 tod. näk. kuvaavat renkaiden pintaan kohdistamia tukivoimia).

Maanpinta kohdistaa molempiin renkaisiin tukivoimat (F6 ja F7), jotka ovat kohtisuorassa tukevaa pintaa vasten. Täten voidaan hylätä voimakuvio F.

Newtonin II lain mukaan pyöräilijään kohdistuvan kokonaisvoiman pitää osoittaa oikealle. Hylätään A (ja D).

Pyörää kiihdyttää renkaan ja tienpinnan välinen lepokitka (F3). Hylätään C (ja A ja F).

Jäljelle jää kuviot B ja E. Tavallisella polkupyörällä eteenpäin kiihdytys tapahtuu vain takarenkaan avulla. Oikea vastaus on siis B.

Pyörän liikettä vastustaa ilmanvastus (F1).

4 p

1 p

2 p

1 p

YO K18 T6 (keinulauta)

Maija ja Timo rakensivat keinulaudan tasapaksusta ja tasaleveästä lankusta ja tukista. Mihin kohtaan keinulaudan alle tukki on laitettava, jotta lankku olisi vaakasuorassa, kun lapset istuvat lankun päissä?

Maijan massa on 28 kg, Timon 17 kg ja lankun 11 kg. Lankun pituus on 3,2 m. (6 p)

Piirretään keinulaudan voimakuvio. Tarkastellaan lankkua ja lapsia yhtenä kappaleena. Valitaan momenttipisteeksi A keinulaudan se pää, jossa Timo istuu.

Huom! Lauta kohdistaa Timoon ja Maijaan tukivoimat, joten myös Timo ja Maija kohdistavat Newtonin III lain mukaan tukivoimat (= työntävät voimat) keinulautaan.

Tukivoimat ovat kuitenkin nyt yhtä suuret kuin henkilöiden painot, joten voimakuvioon voidaan piirtää voimat painoina.

Todellisuudessa painot kohdistuvat Timoon ja Maijaan, eivät lankkuun.

Keinulauta on tasapainossa etenemisen suhteen, joten Newtonin II lain mukaan voimien summa on nolla.

\Sigma \overline F = \overline 0

\overline G_M + \overline N + \overline G_L + \overline G_T = \overline 0

G_M - N + G_L + G_T = 0

N = G_M + G_L + G_T

N = m_Mg + m_Lg + m_Tg

N = g(m_M + m_L + m_T)

Voimien etumerkit voimakuviosta!

Keinulauta on tasapainossa myös pyörimisen suhteen, joten momenttiehdon mukaan momenttien summa on nolla.

\Sigma M = 0

G_Mr_1 - Nr_3 + G_Lr_2 = 0

Nr_3 = G_Mr_1 + G_Lr_2

r_3 = \frac {G_Mr_1 + G_Lr_2}{N}

r_3 = \frac {m_Mgr_1 + m_Lgr_2}{g(m_M + m_L + m_T)}

r_3 = \frac {g(m_Mr_1 + m_Lr_2)}{g(m_M + m_L + m_T)}

r_3 = \frac {(m_Mr_1 + m_Lr_2)}{(m_M + m_L + m_T)}

Momenttien etumerkit voimakuviosta!

Sijoitetaan N:n lauseke.

r_3 = \frac {(28 \ \text {kg} \ \cdot \ 3,2 \ \text {m} + 11 \ \text {kg} \ \cdot \ 1,6 \ \text {m})}{(28 \ \text {kg} + 11 \ \text {kg} + 17 \ \text {kg})}

Sijoitetaan lukuarvot ja ratkaistaan tukin etäisyys momenttipisteestä.

\text{Maijan massa} \ m_M = 28 \ \text {kg}

\text{lankun massa} \ m_L = 11 \ \text {kg}

\text{Timon massa} \ m_M = 17 \ \text {kg}

\text{lankun pituus} \ r_1 = 3,2 \ \text {m}

\text{lankun painopisteen etäisyys momenttipisteestä} \ r_2 = \frac{1}{2}r_1 = 1,6 \ \text {m}

\text{tukin etäisyys momenttipisteestä} \ r_3 = \ ?

r_3 = \frac {(m_Mr_1 + m_Lr_2)}{(m_M + m_L + m_T)}

r_3 =1,9142857 \ \text m

r_3 \approx 1,9 \ \text m

Tukki täytyy asettaa 1,9 metrin päähän Timosta (eli 1,3 metrin päähän Maijasta).

Pisteytys:

Voimakuvio 1 p
Tukivoiman lauseke 2 p
Momenttiehdosta oikea yhtälö 2 p
Etäisyys ratkaistu oikein 1 p

YO K18 T5 (pulkan veto)

Isosisko vetää pikkusiskon pulkalla lumisen mäen päälle nopeudella 0,65 m/s. Mäen muodostama kulma vaakatason suhteen on 11° ja mäen korkeus 3,5 m. Pikkusiskon ja pulkan yhteinen massa on 15 kg. Pulkan ja mäen välinen liikekitkakerroin on 0,056.

Kuinka suuren työn isosisko tekee pulkkaan vetäessään pulkan mäen päälle? (6 p)

Piirretään pulkan voimakuvio.

Painovoima jaetaan tason suuntaiseen ja tasoa kohtisuorasti vasten olevaan komponenttiin.

Suorakulmaisen kolmion trigonometrialla saadaan

\sin \alpha = \frac{G_x}{G} \Rightarrow G _x = G \sin \alpha

\cos \alpha = \frac{G_y}{G} \Rightarrow G _y = G \cos \alpha

Pulkan liike on tasaista, joten Newtonin II lain mukaan tason suuntaisesti ja sitä vastaan kohtisuoraan vallitsee voimien tasapaino. Voimien summa on siis nolla.

\Sigma \overline F = \overline 0

Kirjoitetaan liikeyhtälöt x- ja y-suunnassa.

\Sigma \overline F_x = \overline 0

\overline F + \overline G_x + \overline F_\mu = \overline 0

F - G_x -F_\mu = 0

F = G_x + F_\mu

F = G \sin \alpha + F_\mu

\Sigma \overline F_y = \overline 0

\overline N + \overline G_y = \overline 0

N - G_y = 0

N = G_y

N = G \cos \alpha

Pulkan ja pikkusiskon paino on

Nyt vetäväksi voimaksi saadaan siis

F = G \sin \alpha + \mu N

G = mg

Liukukitka on

F_\mu = \mu N

F = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha

F = G_x + F_\mu

F = mg( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)

Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan ratkaistua mäen pituus s.

\sin \alpha = \frac{h}{s} \Rightarrow s = \frac{h}{\sin \alpha}

Pulkkaan kohdistuva voima F tekee työn

W = Fs

W = mg( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) \cdot \frac{h}{\sin \alpha}

W = mgh(\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} + \mu \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha})

W = mgh(1 + \mu \frac{1 }{\tan \alpha})

W = mgh(1 + \frac{\mu}{\tan \alpha})

Listataan lähtöarvot ja sijoitetaan työn lausekkeeseen.

\text {pulkan ja pikkusiskon massa} \ m = 15 \ \text {kg}

\text {putoamiskiihtyvyys} \ g = 9,81 \ \text {m/s}^2

\text {mäen kaltevuuskulma} \ \alpha = 11 \degree

\text {liikekitkakerroin} \ \mu = 0,056

\text {mäen korkeus} \ h = 3,5 \ \text m

W = 15 \ \text {kg} \cdot 9,81 \ \text {m/s}^2 \cdot 3,5 \ \text m \cdot (1 + \frac{0,056}{\tan 11 \degree})

W = 663,40114 \ \text J

W \approx 660 \ \text J

Isosisko tekee 660 J:n suuruisen työn vetäessään pulkan mäen päälle.

Pisteytys:

Voimakuvio 1 p
Newtonin II laki, painon ja kitkavoiman lausekkeet (komponentteineen) 2 p
Vetävän voiman lauseke 1 p
Työn lauseke 1 p
Oikea vastaus 1 p

Esimerkki: työ-energiaperiaate

Hiihtäjän massa varusteineen on 73 kg. Hän lähtee 8,0 m korkuisen mäen huipulta alkunopeudella 2,5 m/s.

Laske hiihtäjän nopeus mäen alla, kun liikettä vastustaa 55 N:n voima 35 m pitkän mäenlaskun aikana.

\text {alkunopeus} \ v_0 = 2,5 \ \text m/ \text s

\text {massa} \ m = 73 \ \text {kg}

\text {mäen korkeus} \ h = 8,0 \ \text m

\text {mäen pituus} \ s = 35 \ \text m

\text {loppunopeus} \ v = \ ?

\text {liikettä vastustava voima} \ F_{\mu} = 55 \ \text N

Työ-energiaperiaatteen (mekaniikan energiaperiaatteen) mukaan vastustavan voiman tekemä työ pienentää kappaleen mekaanista energiaa.

E_k^{\text {alku}} + E_p^{\text {alku}} - W = E_k^{\text {loppu}} + E_p^{\text {loppu}}

\parallel E_p^{\text {loppu}} = 0

\text {putoamiskiihtyvyys} \ g = 9,81 \ \text m/ \text s^2

\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh - F_{\mu}s = \frac{1}{2}mv^2

Alussa hiihtäjällä on sekä potentiaali- että liike-energiaa, lopussa vain liike-energiaa.

Piirretään mallikuva. Sovitaan potentiaalienergian nollataso mäen alaosaan.

\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh - F_{\mu}s = \frac{1}{2}mv^2

mv^2 = mv_0^2 + 2mgh - 2F_{\mu}s

v^2 = v_0^2 + 2gh - \frac{2F_{\mu}s}{m}

v = \sqrt{ v_0^2 + 2gh - \frac{2F_{\mu}s}{m} }

v = \sqrt{(2,5 \ \text m/ \text s)^2 + 2 \cdot 9,81 \ \text m/ \text s^2 \cdot 8 \ \text m - \frac{2 \ \cdot\ 55 \ \text N \ \cdot \ 35 \ \text m}{73 \ \text {kg}} }

v = 10,5105 \ \text m/ \text s

v \approx 11 \ \text m/ \text s

Hiihtäjän nopeus mäen alla on 11 m/s.

Nyt voidaan ratkaista lauseke nopeudelle mäen alla.

Tennismailalla lyödään palloa, jonka massa on 57 g. Pallon liikesuunta vaihtuu lyönnissä vastakkaiseksi ja on vaakasuora ennen osumaa ja osuman jälkeen.

Pallon nopeus ennen osumaa on 32 m/s. Pallon ja mailan kosketusaika on 4,2 ms ja palloon kohdistuvan vaakasuoran kosketusvoiman suuruus on keskimäärin 1100 N.

Määritä pallon nopeus osuman jälkeen.

Esimerkki: impulssi

Listataan lähtöarvot ja määritetään positiivisen nopeuden suunta vasemmalle.

Maila aiheuttaa pallon liiketilan muutoksen. Impulssiperiaatteen mukaan pallon saama impulssi on

\overline I = \overline F \Delta t = \Delta \overline p

Liikemäärän muutos on

\Delta \overline p = m \Delta \overline v = m \overline v_2 - m \overline v_1

\text {pallon massa} \ m = 5,7 \ \text g = 0,057 \ \text {kg}

\text {nopeus alussa} \ v_1 = 32 \ \text {m/s}

\text {nopeus lopussa} \ v_2 = \ ?

\text {lyönnin voima} \ F = 1100 \ \text N

\text {lyönnin kesto} \ t = 4,2 \ \text {ms} = 0,042 \ \text s

Yhdistetään yhtälöt. Poistetaan samalla vektorimerkit (etumerkit kuvasta).

F \Delta t = mv_2 -(-mv_1)

F \Delta t = mv_2 +mv_1

Ratkaistaan yhtälöstä nopeus osuman jälkeen

v_2 = \frac{F \Delta t - mv_1}{m}

v_2 = \frac{1100 \ \text N \ \cdot \ 0,0042 \ \text s - 0,057 \ \text {kg} \ \cdot \ 32 \ \text {m/s}}{0,057 \ \text {kg}}

v_2 = 49,052 \ \text {m/s} \approx 49 \ \text {m/s}

Pallon nopeus on 49 m/s vasemmalle (sama kuin voiman suunta).

HUOM!

Nopeuden etumerkki huomioidaan joko suureyhtälössä TAI sijoituksessa!

F \Delta t = mv_2 -mv_1

v_2 = \frac{1100 \ \text N \ \cdot \ 0,0042 \ \text s + 0,057 \ \text {kg} \ \cdot \ (-32 \ \text {m/s})}{0,057 \ \text {kg}}

v_2 = \frac{F \Delta t + mv_1}{m}

YO K16 T5 (Curling)

a) Curling-pelissä punainen ja keltainen joukkue laittavat vuorotellen kiven (massa 20,0 kg) liukumaan tasaista jäärataa pitkin kohti maalialuetta.

Punaisen joukkueen kivi liukuu nopeudella 2,1 m/s jäätä pitkin. Kivi törmää kimmoisasti vastustajan samanlaiseen, levossa olevaan keltaiseen kiveen kuvan 1 mukaisesti. Mihin suuntaan ja millä nopeudella kivet liikkuvat törmäyksen jälkeen? Perustele.

b) Punainen kivi liukuu kohti levossa olevaa vastustajan kiveä nopeudella 1,5 m/s. Punainen kivi törmää vinosti ja kimmoisasti kuvan 2 mukaisesti. Keltaisen kiven nopeus on 1,4 m/s. Kuinka suuri on punaisen kiven nopeus?

a) Kirjataan lähtöarvot ylös.

\text {kiven massa} \ m = 20,0 \ \text {kg}

\text {punaisen kiven nopeus alussa} \ v_p = 2,1 \ \text {m/s}

\text {keltaisen kiven nopeus alussa} \ v_k = 0 \ \text {m/s}

\text {punaisen kiven nopeus lopussa} \ u_p = \ ?

\text {keltaisen kiven nopeus lopussa} \ u_k = \ ?

Törmäyksessä liikemäärä säilyy.

\overline p_{\text {alku}} = \overline p_{\text {loppu}}

\overline p_p^{\text {alku}} + \overline p_k^{\text {alku}} = \overline p_p^{\text {loppu}} + \overline p_k^{\text {loppu}}

m \overline v_{p} + m \overline v_{k} = m \overline u_{p} + m \overline u_{k}

m v_{p} = m u_{p} + m u_{k}

v_{p} = u_{p} + u_{k}

Koska yhtälössä on kaksi tuntematonta (punaisen ja keltaisen kiven nopeudet lopussa), tarvitaan toinen yhtälö.

Aloita vektorimuotoisesta yhtälöstä!

Sovitaan positiivinen liikesuunta punaisen kiven suuntaan. Täten kaikki termit voidaan kirjoittaa skalaarimuotoisessa yhtälössä positiivisina.

Törmäys on kimmoisa, joten liikemäärän lisäksi liike-energia säilyy.

\frac {1}{2} mv_p^2 + \frac {1}{2} mv_k^2 = \frac {1}{2} mu_p^2 +\frac {1}{2} mu_k^2

\frac {1}{2} mv_p^2 = \frac {1}{2} mu_p^2 +\frac {1}{2} mu_k^2

v_p^2 =u_p^2 + u_k^2

Saadaan siis yhtälöpari.

\begin{cases} v_p=u_p+u_k\\ v_p^2=u_p^2+u_k^2 \end{cases}

\parallel v_k = 0

Korotetaan ylempi yhtälö toiseen potenssiin ja sijoitetaan alempaan yhtälöön.

v_p^2 = (u_p+u_k)^2 = u_p^2 + 2u_pu_k + u_k^2

u_p^2+u_k^2 = u_p^2 + 2u_pu_k + u_k^2

2u_pu_k = 0

u_pu_k = 0

Yhtälö on tosi, kun jompi kumpi nopeuksista on 0.

Kivillä on sama massa, joten törmäyksessä keltainen kivi lähtee liikkeelle, kun taas punaisen kiven täytyy pysähtyä. Tällöin sekä liikemäärä että liike-energia säilyvät.

Tai laskimella:

Punaisen kiven nopeus törmäyksen jälkeen on 0 m/s. Keltainen kivi lähtee liikkeelle nopeudella 2,1 m/s eli punaisen kiven alkuperäisellä nopeudella. Suunta on sama kuin punaisella kivellä alussa.

b) Kirjataan lähtöarvot ylös.

\text {kiven massa} \ m = 20,0 \ \text {kg}

\text {punaisen kiven nopeus alussa} \ v_p = 1,5 \ \text {m/s}

\text {keltaisen kiven nopeus alussa} \ v_k = 0 \ \text {m/s}

\text {punaisen kiven nopeus lopussa} \ u_p = \ ?

\text {keltaisen kiven nopeus lopussa} \ u_k = 1,4 \ \text {m/s}

Törmäys on kimmoisa, joten liike-energia säilyy.

\frac {1}{2} mv_p^2 = \frac {1}{2} mu_p^2 +\frac {1}{2} mu_k^2

v_p^2 =u_p^2 + u_k^2

u_p^2 = v_p^2 - u_k^2

u_p = \sqrt {v_p^2 - u_k^2}

u_p = \sqrt {(1,5 \ \text {m/s})^2 - (1,4 \ \text {m/s})^2} = 0,5385 \ \text {m/s} \approx 0,54 \ \text {m/s}

HUOM! Ratkaisua ei voi tehdä liikemäärän säilymislailla, sillä siinä pitää huomioida liikemäärän säilyminen sekä x- että y-suunnassa. Tähän taas tarvittaisiin tieto nopeusvektoreiden kulmista.

Junavaunu A törmäsi paikallaan olleeseen toiseen vaunuun B ratapihalla. Vaunut tarttuivat yhteen ja jatkoivat matkaa.

Vaunussa A oleva työntekijä näki nopeusmittarista vaunun nopeuden ennen törmäystä olleen 8,6 m/s ja törmäyksen jälkeen 5,2 m/s. Konduktööri tiesi myös vaunun A massan olevan 6800 kg.

Auta konduktööriä laskemaan vaunun B massa.

Esimerkki: liikemäärä

Törmäyksessä vaunut vuorovaikuttavat keskenään. Lisäksi vaunut vuorovaikuttavat Maan kanssa ja kiskojen kanssa. Nämä vuorovaikutukset kumoavat toisensa.

Vaunujen kokonaisliikemäärä säilyy.

\overline p_{\text {alku}} = \overline p_{\text {loppu}}

\overline p_A^{\text {alku}} + \overline p_B^{\text {alku}} = \overline p_A^{\text {loppu}} + \overline p_B^{\text {loppu}}

m_A \overline v_{A1} + m_B \overline v_{B1} = m_A \overline v_{A2} + m_B \overline v_{B2}

Ennen törmäystä vaunu B on paikoillaan, joten sen liikemäärä (nopeus) on nolla.

Vaunut tarttuvat yhteen, joten törmäyksen jälkeen ne liikkuvat samalla nopeudella, jota voidaan merkitä u:lla. Suunta on sama kuin vaunulla A alussa.

Valitaan nopeuden positiivinen suunta vaunun A liikkeen suuntaan. Nyt yhtälö saadaan muotoon

m_A v_{A1} = m_Au + m_Bu

m_Bu = m_A v_{A1} - m_Au

m_B = \frac{m_A v_{A1} - m_Au}{u}

Sijoitetaan lukuarvot ja ratkaistaan vaunun B massa.

m_B = \frac{6800 \ \text{kg} \ \cdot \ 8,6 \ \text {m/s} - 6800 \ \text {kg} \ \cdot \ 5,2 \ \text {m/s}}{5,2 \ \text {m/s}}

m_B = 4446,1538 \ \text {kg}

m_B \approx 4400 \ \text {kg}

Lumilautailija liukuu puoliympyrän muotoisen lumikourun pohjalla. Kourun säde on 7,5 m ja lautailijan nopeus 4,8 m/s. Liikettä vastustavat voimat ovat merkityksettömät.

Kuinka suuren tukivoiman kouru kohdistaa lumilaudan pohjaan? Lautailijan massa on 65 kg.

Esimerkki: ympyräliike

Piirretään lautailijan voimakuvio kourun pohjalla.

Lautailija on ympyräliikkeessä, joten häneen kohdistuu normaalikiihtyvyys kohti ympyräradan keskipistettä.

Kourun pohjalla tukivoiman pitää olla suurempi kuin paino, jotta kokonaisvoima osoittaa kohti ympyräradan keskipistettä.

Kokonaisvoima ja kiihtyvyys osoittavat aina samaan suuntaan!

Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = m \overline a

\overline N + \overline G = m \overline a

N - G = ma_n

N = G + ma_n

N = mg + m \frac{v^2}{r}

N = m(g + \frac{v^2}{r})

N = 65 \ \text {kg} \cdot (9,81 \ \text {m/s}^2 + \frac{(4,8 \ \text {m/s})^2}{7,5 \ \text m})

N = 837,33 \ \text N \approx 840 \ \text N

\text {lautailijan massa} \ m = 65 \ \text {kg}

\text {kourun säde} \ r = 7,5 \ \text {m}

\text {lautailijan nopeus} \ v = 4,8 \ \text {m/s}

\text {putoamiskiihtyvyys} \ g = 9,81 \ \text {m/s}^2

Tarkista voimakuviosta vektoreiden pituudet!

YO K21 T5.2 Voimat/Keinuja

Lapsi istuu keinukarusellissa, jonka pyörimisnopeus pysyy muuttumattomana.

Valitse annetuista voimakuvioista A–E se, joka parhaiten kuvaa lapseen vaikuttavia voimia. Nimeä tähän voimakuvioon piirretyt voimat.

Kaikkien kuvioissa esitettyjen voimien oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi olevan kuvan tasossa, eli niillä ei oleteta olevan liikkeen suuntaista tai sen vastaista komponenttia. (6 p)

Keinussa istuva lapsi on tasaisessa ympyräliikkeessä. Täten lapseen kohdistuu normaalikiihtyvyys kohti ympyräradan keskipistettä (oikealle).

Lapseen kohdistuu paino (F3), joka osoittaa kohti Maan keskipistettä (suoraan alaspäin). Täten voidaan hylätä voimakuvio E.

Penkki kohdistaa lapseen tukivoiman (F1), joka on kohtisuorassa tukevaa pintaa vasten. Täten voidaan hylätä voimakuvio D.

Newtonin II lain mukaan lapseen kohdistuvan kokonaisvoiman pitää osoittaa kohti ympyräradan keskipistettä.

Mahdollinen kitka olisi pinnan suuntainen, ja toisaalta keskipakoisvoimaa ei ole olemassa, tällä perusteella voidaan hylätä A ja B.

Kuviossa C tukivoiman x-suuntainen komponentti osoittaa oikealle, joten oikea kuvio on C.

4 p

1 p

YO K25 T11.1 DART-luotain

Vuonna 2021 Nasan DART-luotain törmäytettiin suurella nopeudella Didymos-asteroidia kiertävään pieneen kuuhun tarkoituksella muuttaa kuun kiertorataa.

11.1 Laske kiertoajan perusteella kuun ratanopeus ennen törmäystä. (8 p)

Aineistosta 11.A: Törmäyskokeen avulla haluttiin selvittää, kuinka paljon kuun nopeutta voidaan muuttaa. Ennen törmäystä kuu kiersi Didymos-asteroidia lähes ympyränmuotoisella radalla kiertoajan ollessa 11 tuntia 55 minuuttia. Törmäyksen seurauksena kuun kiertoajan havaittiin lyhenevän 33 minuuttia. Radan muoto säilyi lähes ympyränmuotoisena.

Kuuhun vaikuttaa ainoastaan asteroidin gravitaatiovoima G. Kuu on ympyräradalla, joten se kokee normaalikiihtyvyyden kohti asteroidin keskipistettä.

Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = M_k \overline a_n

G = M_k a_n

\gamma \frac{M_kM_a}{r^2} = M_k \frac{v^2}{r}

\gamma \frac{M_a}{r} = v^2

Kuun massa Mk supistuu pois

Toisaalta kuun nopeus tasaisessa ympyräliikkeessä on

v = \frac{s}{T} = \frac{2 \pi r}{T}

\Rightarrow r = \frac{vT}{2 \pi}

Nyt ratanopeudeksi saadaan

v= \sqrt[3] {\frac{2 \pi \gamma M_a}{T}}

\gamma \frac{M_a}{r} = v^2

\gamma M_a = v^2r

\gamma M_a = v^2 \frac{vT}{2 \pi}

\gamma M_a = v^3 \frac{T}{2 \pi}

\text {gravitaatiovakio} \ \gamma = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac {\text {Nm}^2}{\text {kg}^2}

\text {asteroidin massa} \ M_a = 5,6 \cdot 10^{11} \ \text {kg}

\text {luotaimen kiertoaika alussa} \ T = 11 \ \text h \ 55 \ \text {min} = 42 \ 900 \ \text s

v= \sqrt[3] {\frac{2 \pi \ \cdot \ 6,674 \ \cdot \ 10^{-11} \frac {\text {Nm}^2}{\text {kg}^2} \ \cdot \ 5,6 \ \cdot \ 10^{11} \ \text {kg}}{42 \ 900 \ \text s}}

v = 0,176238 \ \text m/ \text s \approx 18 \ \text {cm} / \text s

Pisteytys:

Ratkaisu perusteltu mainitsemalla Newtonin II laki 2 p
On esitetty kuun kiertoliikettä kuvaava liikeyhtälö, gravitaatiovoiman suureyhtälö kuun ja asteroidin massan avulla sekä normaalikiihtyvyyden suureyhtälö kiertoajan, ratanopeuden tai kulmanopeuden avulla 2 p
On esitetty suureyhtälö kuun nopeudelle tai kuun radan säteelle 2 p
Kuun nopeus 2–3 merkitsevällä numerolla välillä 0,17 m/s ... 0,18 m/s 2 p

Esimerkki: jousivoima ja värähtely

Telineestä roikkuvaan jouseen ripustetaan 110 g punnus, jolloin jousi venyy 0,10 m.

a) Laske jousen jousivakio.

b) Kuinka suuren työn jousi tekee venyessään?

c) Paikallaan olevaa punnusta venytetään vielä 0,15 m, minkä jälkeen punnuksesta päästetään irti. Millä nopeudella värähtelevä punnus ohittaa tasapainoaseman?

a) Kirjataan lähtöarvot.

\text {punnuksen massa} \ m = 110 \ \text g = 0,110 \ \text {kg}

Punnus asettuu tasapainoasemaan. Tällöin Newtonin II lain mukaan

\text {jousen venymä} \ x = 0,10 \ \text m

\text {jousivakio} \ k = \ ?

F - G = 0

\text {jousen tekemä työ} \ W = \ ?

k = \frac{mg}{x}

k = \frac{0,110 \ \text {kg} \ \cdot \ 9,81 \ \text m/ \text s^2}{0,10 \ \text m}

k = 10,791 \ \text N/ \text m \approx 11 \ \text N/ \text m

\Sigma \overline F = \overline 0

\overline F + \overline G = \overline 0

kx = mg

F = G

Piirretään punnuksen voimakuvio.

b) Jousen tekemä työ on

W = \frac{1}{2} kx^2

W = \frac{1}{2} \cdot 10,791 \ \text N/ \text m \cdot (0,10 \ \text m)^2

W =0,0539955 \ \text J

W \approx 54 \ \text {mJ}

Huom! Työn määritelmää ei voi suoraan käyttää, koska jousivoima ei pysy venytyksen aikana vakiona!

W = Fs

W = mgx

W = 0,110 \ \text {kg} \cdot 9,81 \ \text m/ \text s^2 \cdot 0,10 \ \text m = 0,10791 \ \text J \approx 110 \ \text {mJ}

Liian suuri arvo!

c) Kun jousta venytetään lisää, jousivoiman tekemä työ varastoituu jousen potentiaalienergiaksi.

E_p = E_k

W = \Delta E_p

Kun punnuksesta päästetään irti, potentiaalienergiaa alkaa muuttua liike-energiaksi. Ääriasennossa kaikki energia on potentiaalienergiaa (nopeus 0), tasapainoasemassa kaikki energia on liike-energiaa (maksiminopeus).

\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{\text {max}}^2

v_{\text {max}} = \sqrt{\frac{kA^2}{m} }

v_{\text {max}} = \sqrt{\frac{10,791 \ \text N/ \text m \ \cdot \ (0,15 \ \text m)^2}{0,110 \ \text {kg}} } = 1,48568 \ \text {m/s} \approx 1,5 \ \text {m/s}

\text {punnuksen massa} \ m = 110 \ \text g = 0,110 \ \text {kg}

\text {jousen (maksimi)venymä} \ A = 0,15 \ \text m

\text {jousivakio} \ k = 10,791 \ \text {N/m}

YO S16 T5 (vaunu jousen päässä)

Vaakasuoralla radalla oleva herkkäliikkeinen vaunu on kytketty kevyellä jouselle radan päätyyn. Vaunun langaton voima-anturi A mittaa jousen vaunuun kohdistamaa voimaa F, ja ultraäänianturi mittaa vaunun paikkaa x. Mittausarvoista lasketaan vaunun nopeus v ja kiihtyvyys a. Vaunu laitetaan värähtelemään, jolloin saadaan kuvien A–C mukaiset mittaustulokset.

Kuinka suuri on

a) vaunun massa, b) jousen jousivakio, c) värähdysliikkeen energia ja d) värähtelyn taajuus?

a) Newtonin II lain mukaan

Mittaamalla saatu (a, F)-kuvaaja on varsin tarkasti origon kautta kulkeva jana, joten vaunun massa on kuvaajan kulmakerroin.

Määritetään kulmakerroin kuvaajasta luettujen janan päätepisteiden avulla (nykyisin ohjelmiston laskema kulmakerroin!).

F = ma

m = \frac{\Delta F}{\Delta a} = \frac{0,42 \ \text N - (-0,41 \ \text N)}{1,25 \ \text {m/s}^2 - (1,25 \ \text {m/s}^2)} = 0,332 \ \text {kg} \approx 0,33 \ \text {kg}

b) Jousivoiman lain (Hooken lain) mukaan

Mittaamalla saatu (x, F)-kuvaaja on myös varsin tarkasti origon kautta kulkeva jana, joten jousivakio on kuvaajan kulmakertoimen vastaluku.

F = -kx

k = -\frac{\Delta F}{\Delta x} = \frac{0,42 \ \text N - (-0,41 \ \text N)}{-0,070 \ \text {m} - (0,071 \ \text {m})} = 5,58865 \ \text {N/m} \approx 5,9 \ \text {N/m}

c) Värähdysliikkeen energia E0 on vaunun liike-energian ja jousivoiman potentiaalienergian summa: E0 = Ek + Ep

Vaimentavia vuorovaikutuksia ei ole, joten värähdysliikkeen energia säilyy.

Kun x = 0, myös F = 0, joten Ep = 0. Tällöin E0 = Ek ja nopeudella on positiivinen tai negatiivinen maksimi, kuten (x, v)-kuvaajasta ilmenee.

d) Systeemi on harmoninen värähtelijä, jonka värähtelyn taajuus saadaan lausekkeesta

E_0 = \frac{1}{2}mv_{\text {max}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,332 \ \text {kg} \cdot (0,30 \ \text {m/s})^2

E_0 = 0,01494 \ \text J \approx 15 \ \text {mJ}

f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{5,58865 \ \text {N/m}}{0,332 \ \text {kg}}} = 0,670163 \ \text {Hz} \approx 0,67 \ \text {Hz}

YO S24 T9.5 Trampoliini

Kun trampoliinilla hyppivä ihminen on kosketuksissa trampoliinin pintaan, trampoliini kohdistaa häneen ylöspäin suuntautuvan voiman. Tämä voima riippuu paikasta y: jossa k on trampoliinin ”jousivakio” ja y pystysuuntainen poikkeama kuormittamattoman trampoliinin tasosta (positiivinen suunta ylöspäin). Toisaalta hyppijään vaikuttaa myös paino mg, jossa m on hyppijän massa ja g putoamiskiihtyvyys. Tasapainossa nämä kaksi voimaa ovat yhtä suuret. Tasapainotilanne saavutetaan esimerkiksi astumalla trampoliinille varovasti ja odottamalla, että värähdysliike vaimenee. Toisaalta tasapainoaseman ympärillä voi myös helposti ylläpitää pientä värähdysliikettä, jonka taajuus f on

Tällöin hyppijän paikkaa ajan funktiona esittää yhtälö , jossa A on värähdysliikkeen amplitudi. Vastaavasti hyppijän nopeus ajan funktiona on

Trampoliinin hyppijään kohdistama voima voi suuntautua vain ylöspäin, joten liike on pelkkää värähdysliikettä vain pienillä amplitudeilla. Suurilla amplitudeilla hyppijä irtoaa välillä trampoliinista.

F(y) = -ky

f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

y(t) = - \frac{mg}{k} - A \cos (2 \pi ft)

v(t) = 2 \pi f A \sin (2 \pi ft)

9.5 Johda lauseke suurimmalle amplitudille A, jolla fyysikon jalat eivät irtoa trampoliinilta. Käytä apunasi tekstiä 9.B. Mikä on suurin mahdollinen amplitudi, jolla jalat eivät irtoa trampoliinilta, jos fyysikon massa on 68 kg ja trampoliinin “jousivakio” on 4 600 N/m? (7 p)

Aineisto: Trampoliinin hyppijään kohdistama voima voi suuntautua vain ylöspäin.

Tämä viittaa siihen, että hyppijä ei voi ohittaa kuormittamattoman (= tyhjän) trampoliinin tasapainoasemaa.

Voimakuviot:

Tasapainoasema:

Fyysikon jalat irtoamassa:

Mahdoton tilanne ilman, että jalat irtoavat:

Jousivoima ei osoita ylöspäin.

Jousivoima nolla.

Tasapainoasema:

Tapa 1: Värähdysliikkeen paikka

y(t) = - \frac{mg}{k} - A \cos (2 \pi ft)

Koska negatiivinen suunta on alaspäin, voi fyysikon paikka olla korkeintaan kuormittamattoman trampoliinin tasolla y = 0, eli

y(t) = - \frac{mg}{k} - A \cos (2 \pi ft) \leq 0

- \frac{mg}{k} \leq A \cos (2 \pi ft)

Kosinifunktio saa arvoja välillä [-1, 1]. Kun , saadaan

\cos (2 \pi ft) = -1

- \frac{mg}{k} \leq A \cos (2 \pi ft)

\Rightarrow \frac{mg}{k} \geq A

Suurin amplitudi A saadaan siis, kun

A = \frac{mg}{k}

= \frac{68 \ \text {kg} \ \cdot \ 9,81 \ \text m/ \text s^2}{4600 \ \text N/ \text m} = 0,145017 \ \text m \approx 15 \ \text{cm}

Pisteytys:

Oikein perusteltu ratkaisu 3 p
Lauseke A:lle 2 p
Oikea vastaus 2–3 merkitsevällä välillä 0,14 m ... 0,15 m 2 p

Tasapainoasema:

Fyysikon jalat irtoamassa:

Jousivoima nolla.

Tapa 2: Voimat

Tasapainoasemassa y0 on Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = \overline 0

\overline F_j + \overline G = \overline 0

F_j -G = 0

-ky_0 - mg = 0

y_0 = \frac{mg}{k}

Fyysikko irtoaa trampoliinilta, kun jousivoima Fj = –ky = 0 (eli y = 0).

\cos (2 \pi ft) = -1

Tämä on mahdollista, kun .

Tästä syystä suurin mahdollinen amplitudi A on tasapainoaseman y0 etäisyys kuormittamattoman trampoliinin tasapainoasemasta y = 0.

A = \left| y_0 \right| = \frac{mg}{k}

A = \frac{68 \ \text {kg} \ \cdot \ 9,81 \ \text m/ \text s^2}{4600 \ \text N/ \text m}

A = 0,145017 \ \text m \approx 15 \ \text{cm}

Esimerkki: äänen intensiteetti ja intensiteettitaso

a) Laske 1000 Hz:n taajuisen äänen kipukynnystä 120 dB vastaava äänen intensiteetti.

b) Jos 120 dB mitataan 1,0 m etäisyydellä äänilähteestä, millä etäisyydellä äänilähteestä äänen intensiteettitaso on 110 dB?

a) Kirjataan lähtöarvot.

Ratkaistaan intensiteettitason määritelmästä intensiteetti.

\text {äänen intensiteettitaso} \ L = 120 \ \text {dB}

\text {intensiteetin nollataso } I_0 = 10^{-12} \ \text W/ \text m^2

L = 10 \lg \frac{I}{I_0} \ \text {dB}

\frac{L}{10 \ \text {dB}} = \lg \frac{I}{I_0}

\frac{I}{I_0} = 10^{\frac{L}{10 \ \text {dB}}}

I = I_010^{\frac{L}{10 \ \text {dB}}}

I = 10^{-12} \ \text W/ \text m^2 \cdot 10^{\frac{120 \ \text {dB}}{10 \ \text {dB}}}

( I = 10^{-12} \cdot 10^{12} \ \text W/ \text m^2 = 10^0 \ \text W/ \text m^2 )

I = 1,0 \ \text W/ \text m^2

(kts. taulukko)

Äänen energia jakautuu ympäristöön pallomaiselle pinnalle, joten pinta-ala A on pallon pinta-ala. Oletetaan, että äänen teho pysyy vakiona.

P_{r_1} = P_{r_2}

I_1A_1 = I_2A_2

b) Intensiteetin määritelmästä voidaan ratkaista äänen teho.

I = \frac{P}{A}

\Rightarrow P = IA

I_1 \cdot 4 \pi r_1 ^2= I_2 \cdot 4 \pi r_2 ^2

I_1 r_1 ^2= I_2 r_2 ^2

\Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

Tätä verrantoa saa käyttää YO-kokeessa suoraan, jos on maininnut, että teho pysyy vakiona ja viitataan geometriaan.

\frac{I_0 10^{\frac{L_1}{10 \ \text {dB}}}}{ I_0 10^{\frac{L_2}{10 \ \text {dB}}}} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

Kirjoitetaan intensiteetin lausekkeet kahdella eri etäisyydellä intensiteettitasojen avulla.

I_1 = I_0 10^{\frac{L_1}{10 \ \text {dB}}}

I_2 = I_0 10^{\frac{L_2}{10 \ \text {dB}}}

Sijoitetaan lausekkeet verrantoon.

\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

\frac{10^{\frac{L_1}{10 \ \text {dB}}}}{10^{\frac{L_2}{10 \ \text {dB}}}} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

10^{\frac{L_1}{10 \ \text {dB}} - \frac{L_2}{10 \ \text {dB}}} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

10^{\frac{L_1 - L_2}{10 \ \text {dB}}} = \frac{r_2^2}{r_1^2}

r_2 = \sqrt {r_1^2 10^{\frac{L_1 - L_2}{10 \ \text {dB}}} }

r_2 = r_1 \sqrt {10^{\frac{L_1 - L_2}{10 \ \text {dB}}} }

r_2 = 1,0 \ \text m \cdot \sqrt {10^{\frac{120 \ \text {dB} - 110 \ \text {dB}}{10 \ \text {dB}}} }

r_2 = 3,16228 \ \text m

r_2 \approx 3,2 \ \text m

L_1 = 120 \ \text {dB}

L_2 = 110 \ \text {dB}

YO K14 T4 (Vuvuzela)

Vuvuzela eli stadiontorvi tuli tunnetuksi vuoden 2010 jalkapallon MM-kisojen yhteydessä. Oheinen kuvaaja esittää vuvuzelan äänen taajuusspektriä. Osa kuvaajasta on suurennettu.

a) Miten ääni syntyy torven sisällä?

b) Toimiiko vuvuzela soidessaan kuten molemmista päistä avoin putki vai kuten toisesta päästä suljettu putki? Perustele annetun taajuusspektrin avulla.

c) Vuvuzelan soittaja vetää keuhkoihinsa heliumia ja puhaltaa torveen. Helium syrjäyttää kaiken ilman torven sisältä. Kuinka suuri on syntyvän äänen matalin taajuus?

a) Miten ääni syntyy torven sisällä?

Torven sisällä etenevät ääniaallot heijastuvat molemmista päistä osittain takaisin putkeen.

Tietyillä, keskenään kokonaislukusuhteissa olevilla taajuuksilla torveen syntyy sen koko matkalle seisova ääniaalto, kun kumpaankin suuntaan kulkevat aallot interferoivat keskenään. Nämä taajuudet ovat torven ominaistaajuuksia.

Kun torvea soitetaan, soittajan huulet värähtelevät jollain ominaistaajuudella, syntyy resonanssi ja torvessa oleva ilmapatsas alkaa värähdellä voimakkaasti. Spektrissä esiintyy useita taajuuksia, koska torvi voi soida yhtä aikaa usealla ominaistaajuudella.

b) Toimiiko vuvuzela soidessaan kuten molemmista päistä avoin putki vai kuten toista päästä suljettu putki? Perustele annetun taajuusspektrin avulla.

Taajuusspektrissä näkyvät piikit kohdissa:

236 Hz

480 Hz

710 Hz

950 Hz

1190 Hz

1410 Hz

1650 Hz

Vaihtoehto 1: Puoliavoimessa putkessa suljetussa päässä on solmu ja avoimessa päässä on kupu.

Perusvärähtely:

f_1 = \frac{v}{4L}

L = \frac{1}{4} \lambda_1 \ \Rightarrow \ \lambda_1 = 4L

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = f_1 \lambda_1 = f_1 \cdot 4L

Perustaajuus:

\lambda_1 = 4L

\lambda_2 = \frac{4}{3} L

\lambda_3 = \frac{4}{5} L

1. ylävärähtely:

f_2 = \frac{3v}{4L} = 3 \cdot \frac{v}{4L} = 3f_1

L = \frac{3}{4} \lambda_2 \ \Rightarrow \ \lambda_2 = \frac{4}{3} L

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = f_2 \lambda_2 = f_2 \cdot \frac{4}{3} L

1. ylävärähtelyn taajuus:

2. ylävärähtely:

f_3 = \frac{5v}{4L} = 5 \cdot \frac{v}{4L} = 5f_1

L = \frac{5}{4} \lambda_3 \ \Rightarrow \ \lambda_3 = \frac{4}{5} L

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = f_3 \lambda_3 = f_3 \cdot \frac{4}{5} L

2. ylävärähtelyn taajuus:

Puoliavoimen putken värähtelytaajuudet ovat siis

f_1, \ 3f_1, \ 5f_1, ...

Vaihtoehto 2: Molemmista päistä avoimessa putkessa on päissä kuvut.

Perusvärähtely:

f_1 = \frac{v}{2L}

L = \frac{1}{2} \lambda_1 \ \Rightarrow \ \lambda_1 = 2L

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = f_1 \lambda_1 = f_1 \cdot 2L

Perustaajuus:

\lambda_1 = 2L

\lambda_2 = L

\lambda_3 = \frac{2}{3} L

1. ylävärähtely:

f_2 = \frac{v}{L} = 2 \cdot \frac{v}{2L} = 2f_1

L = \lambda_2

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = f_2 \lambda_2 = f_2L

1. ylävärähtelyn taajuus:

2. ylävärähtely:

f_3 = \frac{3v}{2L} = 3 \cdot \frac{v}{2L} = 3f_1

L = \frac{3}{2} \lambda_3 \ \Rightarrow \ \lambda_3 = \frac{2}{3} L

Aaltoliikkeen perusyhtälö:

v = f_3 \lambda_3 = f_3 \cdot \frac{2}{3} L

2. ylävärähtelyn taajuus:

Puoliavoimen putken värähtelytaajuudet ovat siis

f_1, \ 2f_1, \ 3f_1, ...

Taajuusspektrissä näkyvät piikit kohdissa 236 Hz (perustaajuus), 480 Hz, 710 Hz, 950 Hz, 1190 Hz, 1410 Hz ja 1650 Hz.

Toisesta päästä avoin putki:

f_1, \ 3f_1, \ 5f_1, ...

3 \cdot 236 \ \text {Hz} = 708 \ \text {Hz}

5 \cdot 236 \ \text {Hz} = 1180 \ \text {Hz}

7 \cdot 236 \ \text {Hz} = 1652\ \text {Hz}

9 \cdot 236 \ \text {Hz} = 2124\ \text {Hz}

Molemmista päistä avoin putki:

f_1, \ 2f_1, \ 3f_1, ...

2 \cdot 236 \ \text {Hz} = 472\ \text {Hz}

3 \cdot 236 \ \text {Hz} = 708\ \text {Hz}

4 \cdot 236 \ \text {Hz} = 944\ \text {Hz}

5 \cdot 236 \ \text {Hz} = 1180 \ \text {Hz}

Näin ollen taajuudet noudattavat molemmista päistä avoimen putken seisovaa aaltoliikettä ja taajuuksia.

c) Vuvuzelan soittaja vetää keuhkoihinsa heliumia ja puhaltaa torveen. Helium syrjäyttää kaiken ilman torven sisältä. Kuinka suuri on syntyvän äänen matalin taajuus?

Aaltoliikkeen perusyhtälön mukaan

v = f \lambda

Kun torvessa resonoiva kaasu vaihdetaan ilmasta heliumiin, seisovan aallon aallonpituus pysyy samana, mutta äänen nopeus ja taajuus muuttuvat.

Matalinta taajuutta vastaava aallonpituus:

\lambda = \frac{v_{\text {ilma}}}{f_{\text {ilma}}} = \frac{v_{\text {helium}}}{f_{\text {helium}}}

f_{\text {helium}} = \frac{965 \ \text{m/s}}{343\ \text{m/s}} \cdot 236 \ \text{Hz} = 663,96591 \ \text{Hz} \approx 664 \ \text{Hz}

\Rightarrow \ f_{\text {helium}} = \frac{v_{\text {helium}}}{v_{\text {ilma}}}f_{\text {ilma}}

Esimerkki: valon taipuminen

Laservalo, jonka aallonpituus on 633 nm, osuu kohtisuorasti hilaan, jossa on 340 rakoa millimetrillä. Kuinka monta intensiteettimaksimia saadaan näkyviin hilan taakse asetetulle varjostimelle?

Kuva: Resonanssi (e-Oppi)

\text {aallonpituus} \ \lambda = 633 \ \text {nm} = 633 \cdot 10^{-9} \ \text m

\text {rakojen välimatka (hilavakio)} \ d = \frac{1 \ \text {mm}}{340} = \frac{1 \ \cdot \ 10^{-3} \ \text {m}}{340}

\text {taipumiskulma} \ \theta = \ ?

\text {kertaluku} \ k = \ ?

taipumiskulmalle pätee

d \sin \theta = k \lambda

0\degree\le\theta <90\degree

joten

0 \le \sin \theta <1

ja edelleen

\sin \theta=\frac{k\lambda}{d}

\frac{k\lambda}{d}<1

Hilayhtälössä

Nyt hilayhtälöstä saadaan

Kun laservalo ohjataan hilaan, se taipuu (diffraktoituu). Valon taipuminen noudattaa hilayhtälöä.

Ratkaistaan yhtälöstä kertaluku k.

\frac{k\lambda}{d}<1

k<\frac{d}{\lambda}

k < \frac{\frac{1 \ \cdot \ 10^{-3} \ \text {m}}{340}}{633 \ \cdot \ 10^{-9} \ \text m} = \frac{1 \ \cdot \ 10^{-3}\ \text m}{340 \ \cdot \ 633 \ \cdot \ 10^{-9} \ \text m}

k<4,6464

Koska kertaluku k on kokonaisluku, niin k = 4.

Siis varjostimelle saadaan k:n arvoja 0, 1, 2, 3 ja 4 vastaavat intensiteettimaksimit.

Intensiteettimaksimeja on siis yhteensä 9 kpl.

Jos kirjoitat yhtälön yhtäsuuruus-merkillä, pyöristä alaspäin!

Esimerkki: valon taittuminen

Valonsäde etenee ilmasta veteen 46 asteen tulokulmassa. Valon taitekerroin ilmassa on 1,00 ja vedessä 1,33. Laske valon taitekulma. Piirrä tilanteesta kuvio.

Voiko tapahtua kokonaisheijastuminen valonsäteen kulkiessa ilmasta veteen?

\text {valon tulokulma} \ \alpha_1 = 46°

\text {ilman taitekerroin} \ n_1 = 1,00

\text {veden taitekerroin} \ n_2= 1,33

\text {valon taitekulma} \ \alpha_2 = \ ?

Taittumislain mukaan

\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{n_2}{n_1}

\sin \alpha_2 = \frac{\sin \alpha_1 n_1}{n_2}

\alpha_2 = \sin^{-1} ( \frac{\sin \alpha_1 n_1}{n_2} )

\alpha_2 = \sin^{-1} ( \frac{\sin 46° \cdot \ 1,00}{1,33} )

\alpha_2 = 32,741997° \approx 33°

Snellin lain mukaan

n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2

Kokonaisheijastuminen voi tapahtua, kun valonsäde tulee optisesti tiheämmästä optisesti harvempaan aineeseen tarpeeksi suurella tulokulmalla.

Kun valo tulee ilmasta veteen , ei kokonaisheijastusta voi tapahtua.

(n_1 > n_2)

Tämä widgetin toiminto estetty YO-kokeessa, valon taittuminen pitää piirtää itse!

(n_1 < n_2)

TAI

YO K20 T5 Kiertokäämimittari

Kiertokäämimittarin toiminta perustuu käämiin kohdistuvaan vääntöön magneettikentässä. Kiertokäämimittarilla voidaan mitata sähkövirtaa tai jännitettä halutulla mittausalueella kytkemällä mittarissa olevan käämin rinnalle tai sen kanssa sarjaan sopiva vastus.

Kuvat 5.A ja 5.B esittävät eri mittausalueille asetettua kiertokäämimittaria ja vastaavaa mittarin sisäistä vastuskytkentää. Kun mittari näyttää maksimiarvoa, mittarin käämin läpi kulkee 0,10 mA sähkövirta. Käämin resistanssi on 360 Ω.

5.1 Kuinka suuri vastuksen RI resistanssin pitää olla, kun mitataan sähkövirtaa alueella 0...100 mA? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. (8 p)

5.2 Kuinka suuri vastuksen RU resistanssin pitää olla, kun mitataan jännitettä alueella 0…1 V? Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. (7 p)

Mittarin maksimiarvolla

I = 100 \ \text {mA}

I_2 = 0,10 \ \text {mA}

R_2 = 360 \ \Omega

I_2

I_1

Käämi ja vastus on kytketty rinnan.

Sähkövirta jakautuu kahteen haaraan. Kirchhoffin I lain mukaan

I = I_1 + I_2

Tutkitaan käämin ja vastuksen muodostamaa suljettua virtasilmukkaa. Kirchhoffin II lain ja Ohmin lain mukaan

I_1 = I - I_2

\Sigma \Delta V = 0

-R_2I_2 + R_1I_1 = 0

R_1 = \frac{R_2I_2}{I_1}

R_1 = \frac{R_2I_2}{I - I_2}

R_1 = \frac{360 \ \Omega \ \cdot \ 0,10 \ \text{mA}}{100 \ \text{mA} - 0,10 \ \text{mA}} = 0,36036 \ \Omega \approx 0,36 \ \Omega

I_2

I_1

2 p

(sähkövirran jakautumisen periaate)

2 p

(riittää todeta, että käämissä ja vastuksessa sama jännite)

2 p

Mittarin maksimiarvolla

U = 1,0 \ \text {V}

I = 0,10 \ \text {mA}

R_2 = 360 \ \Omega

Käämi ja vastus on kytketty sarjaan.

Komponentit on kytketty sarjaan. Täten sähkövirta on kaikkialla piirissä sama.

Kirchhoffin II lain ja Ohmin lain mukaan

\Sigma \Delta V = 0

U - R_2I - R_1I = 0

R_1 = \frac{U - R_2I}{I}

R_1 = \frac{1,0 \ \text V - 360 \ \Omega \ \cdot \ 0,10 \ \text {mA}}{0,10 \ \text {mA}}

R_1 = 9640 \ \Omega \approx 9,6 \ \text k \Omega

2 p

1 p

2 p

YO K19 T3 Kondensaattorin kapasitanssi

Kondensaattori ladattiin kolmella eri jännitteen arvolla. Varaus purettiin kondensaattorin kanssa sarjaan kytketyn vastuksen kautta, ja samalla mitattiin piirissä kulkeva sähkövirta ajan funktiona.

Mittauksessa käytettiin 3,0 V:n, 6,0 V:n ja 9,0 V:n jännitteitä. Määritä kondensaattorin kapasitanssi käyttäen mittausaineiston 3.A kolmea eri mittaussarjaa. Käy vastauksessasi läpi määrityksen vaiheet ja saamasi lopputulos. (15 p)

Piirretään ensin kuvaajat sähkövirroista ajan funktiona samaan koordinaatistoon.

(Mittauspisteitä on noin 101 kpl, joten mittauspisteitä ei tarvitse piirtää näkyviin, vaan ne voidaan yhdistää murtoviivalla.)

2 p (kuvaajat piirretty + akseleilla suure ja yksikkö)

Kondensaattorin varaus Q saadaan kuvaajasta graafisesti integroimalla, sillä varaus on

Q = \int I dt

Varauksiksi saadaan

Q (U = 3,0 \ \text V) = 7,671 \ \mu \text C

Q (U = 6,0 \ \text V) = 15,39 \ \mu \text C

Q (U = 9,0 \ \text V) = 24,36 \ \mu \text C

Jännite (V)	Varaus (µC)
3,0	7,671
6,0	15,39
9,0	24,36

2 p (1 p suureyhtälö + 1 p graaf. integrointi / fys. pinta-ala)

2 p (integrointi + varaukset oikein)

Kondensaattorin kapasitanssin määritelmän mukaan

C = \frac{Q}{U}

Kondensaattorin kapasitanssi C saadaan siis (U, Q)-kuvaajan kulmakertoimesta.

Kondensaattorin kapasitanssiksi saadaan

C = 2,782 \ \mu \text{F}

C \approx 2,8 \ \mu \text{F}

jossa Q on kondensaattorin varaus ja U latausjännite.

2 p (suureyhtälö)

2 p (suureiden selitys)

2 p (kuvaaja)

1 p (suoran sovitus)

1 p (kulmakerroin)

1 p (oikea vastaus)

Keskiarvomenetelmä –4 p (kuvaajan pisteet)?

YO K18 T7 (potentiaalikäyrä)

Kuvan esittämässä kytkennässä RA = 220 Ω, RB = 330 Ω ja UB = 3,0 V. Jännitelähteiden sisäinen resistanssi jätetään huomioimatta. Tarkastellaan tilannetta, jossa

a) UA = 6,0 V (4 p)

b) UA = 1,5 V. (2 p)

Piirrä tilanteista a ja b kuvaajat (potentiaalikäyrät), joista ilmenevät potentiaalien arvot pisteissä 1-5. Ilmoita myös potentiaalien arvot näissä pisteissä.

a) Kirchhoffin II lain mukaan suljetussa virtasilmukassa potentiaalimuutosten summa on nolla.

\Sigma \Delta V = 0

U_A - R_AI - U_B - R_BI = 0

Kaikkien komponenttien läpi kulkee yhtä suuri sähkövirta, sillä komponentit on kytketty sarjaan. Kierretään silmukka vastapäivään ja ratkaistaan sähkövirta I.

R_AI + R_BI = U_A - U_B

(R_A + R_B)I = U_A - U_B

I = \frac{U_A - U_B}{R_A + R_B}

I = \frac{6,0 \ \text V - 3,0 \ \text V}{220 \ \Omega \ + \ 330 \ \Omega} = 0,005455 \ \text A

Ratkaistaan nyt vastusten A ja B jännitehäviöt. Ohmin lain mukaan

U_{R,A} = R_AI = 220 \ \Omega \cdot 0,005455 \ \text A = 1,2 \ \text V

U_{R,B} = R_BI = 330 \ \Omega \cdot 0,005455 \ \text A = 1,8 \ \text V

Ratkaistaan nyt pisteiden potentiaalit.

V_1 = 0 \ \text V

Tämä piste on maadoitettu.

V_2 = V_1 + U_2 = U_2 = 6,0 \ \text V

V_3 = V_2 - U_{R,A} = 6,0 \ \text V - 1,2 \ \text V = 4,8 \ \text V

V_4 = V_3 - U_B = 4,8 \ \text V - 3,0 \ \text V = 1,8 \ \text V

V_5 = V_4 - U_{R,B} = 1,8 \ \text V - 1,8 \ \text V = 0 \ \text V

Jännitelähde ylitetään miinuksesta plussaan, potentiaali kasvaa.

Vastus ylitetään sähkövirran suuntaan, potentiaali pienenee.

Jännitelähde ylitetään plussasta miinukseen, potentiaali pienenee.

Tämäkin piste on maadoitettu.

Piirretään nyt potentiaalikäyrä.

b) Vastaavalla tavalla kirjoitetaan Kirchhoffin II:n lain mukainen yhtälö ja ratkaistaan siitä sähkövirta I.

U_A - R_AI - U_B - R_BI = 0

I = \frac{U_A - U_B}{R_A + R_B}

I = \frac{1,5 \ \text V - 3,0 \ \text V}{220 \ \Omega \ + \ 330 \ \Omega} = −0,002727 \ \text A

Sähkövirta on nyt negatiivinen eli se kulkee päinvastaiseen suuntaan kuin a-kohdassa. Tehdään tarkastelu silmukassa kuitenkin samaan suuntaan kuin äsken eli myötäpäivään.

Vastusten A ja B jännitehäviöt ovat

U_{R,A} = R_AI = 220 \ \Omega \cdot (−0,002727 \ \text A) = -0,6 \ \text V

U_{R,B} = R_BI = 330 \ \Omega \cdot (−0,002727 \ \text A)= -0,9 \ \text V

Ratkaistaan nyt pisteiden potentiaalit.

V_1 = 0 \ \text V

Tämä piste on maadoitettu.

V_2 = V_1 + U_2 = U_2 = 1,5 \ \text V

V_3 = V_2 - U_{R,A} = 1,5 \ \text V - (-0,6 \ \text V) = 2,1 \ \text V

V_4 = V_3 - U_B = 2,1 \ \text V - 3,0 \ \text V = -0,9 \ \text V

V_5 = V_4 - U_{R,B} = -0,9 \ \text V - (-0,9 \ \text V) = 0 \ \text V

Nyt vastus ylitetään sähkövirran suuntaa vastaan, potentiaali kasvaa.

Tämäkin piste on maadoitettu.

Piirretään nyt potentiaalikäyrä.

Esimerkki: pistevaraukset

Kaksi hiukkasta, joiden sähkövaraukset ovat –2,0 μC ja 3,0 μC, ovat 2,5 cm:n etäisyydellä toisistaan.

Laske hiukkasten välinen sähköinen voima. Onko voima hylkimis- vai vetovoima?

Miten sähköinen voima muuttuu, jos varattujen hiukkasten etäisyys kaksinkertaistuu?

Coulombin lain mukaan varattujen hiukkasten välinen sähköinen voima on

F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}

F = 8,98755 \cdot 10^9 \ \frac{\text {Nm}^2}{\text C^2} \cdot \frac{2,0 \ \cdot \ 10^{-6} \ \text C \ \cdot \ 3,0 \ \cdot \ 10^{-6} \ \text C}{(0,025 \ \text m)^2}

F = 86,2805 \ \text N \approx 86 \ \text N

\text {Coulombin vakio} \ k = 8,98755 \cdot 10^9 \frac{\text N\text m^2}{\text C^2}

\text {sähkövaraus 1} \ Q_1 = -2,0 \ \mu \text C

\text {varausten välinen etäisyys} \ r = 2,5 \ \text {cm} = 0,025 \ \text m

\text {sähkövaraus 2} \ Q_2 = 3,0 \ \mu \text C

Sijoitetaan arvot ja ratkaistaan voiman suuruus (itseisarvona).

Varaukset ovat erimerkkiset, joten kyseessä on vetovoima. Newtonin III laki: varaukset kohdistavat toisiinsa yhtä suuret, mutta vastakkaismerkkiset voimat.

Pistevarausten sähkökentät

Merkitään etäisyydellä r voimaa F1 ja etäisyydellä 2r F2.

Coulombin lain mukaan hiukkasten välinen sähköinen voima on

F_1 = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}

F_2 = k \frac{Q_1 Q_2}{(2r)^2} = k \frac{Q_1 Q_2}{4r^2}

Nyt voimien suhde on

\frac{F_2}{F_1} = \frac{k \frac{Q_1 Q_2}{4r^2}}{k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}} = \frac{\frac{1}{4r^2}}{\frac{1}{r^2}} = \frac{1}{4}

Tästä saadaan

F_2 = \frac{1}{4}F_1

Voima F siis pienenee neljäsosaan, kun etäisyys r kaksinkertaistuu.

YO S24 T6 Millikanin koetta mukaillen

Kahden vaakasuuntaisen kondensaattorilevyn välissä havaitaan paikallaan leijuva öljypisara kuvan mukaisesti. Pisara on varautunut siten, että siinä on ylimääräisiä elektroneja. Levyjen välinen etäisyys on d = 2,0 cm ja jännite niiden välillä on 505 V. Öljypisaran säde on r = 1,1 µm ja öljyn tiheys on 753 kg/m³.

6.1 Piirrä pisaran voimakuvio. Kumpi levy, A vai B, on negatiivisesti varautunut? Perustele. (5 p)

6.2 Kuinka monta ylimääräistä elektronia öljypisarassa on? (10 p)

6.1 Piirretään pisaran voimakuvio tilanteessa, jossa pisara on tasapainossa (paikallaan). Pisaraan kohdistuu 2 voimaa: painovoima alaspäin ja sähköinen voima ylöspäin.

Öljypisarassa on ylimääräisiä elektroneja, joten se on negatiivisesti varautunut.

Koska sähköinen voima osoittaa ylöspäin, täytyy alemman levyn olla negatiivisesti varautunut ja ylemmän positiivisesti varautunut.

Levy B on siis negatiivisesti varautunut.

2 p

1 p

Voimakuvion pisteytys:

Hyväksytään myös kaksi sähköistä voimaa + selitys
Voimanuoli irti pisarasta tai piirretty muita voimia 0 p
Nopeus- tai kiihtyvyysvektori 0 p
Eripituiset vektorit –1 p

6.2 Ratkaistaan pisaran massa tiheyden määritelmästä. Pisara on pallon muotoinen, joten hyödynnetään pallon tilavuutta.

Pisaran paino on täten

Koska pisarassa on varaus, siihen vaikuttaa sähköinen voima

\rho = \frac{m}{V}

\Rightarrow m = \rho V = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho

G = mg = \rho Vg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g

F_s = qE

Kondensaattori muodostaa homogeenisen sähkökentän. Sähkökentän voimakkuus kondensaattorilevyjen välissä on

E = \frac{U}{d}

\Rightarrow F_s = q \frac{U}{d}

Ratkaistaan nyt varaus q (tai sen itseisarvo).

qE = mg

q \frac{U}{d} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g

q = \frac{4 \pi r^3 \rho gd}{3U}

( q = \frac{4 \pi \ \cdot \ (1,1 \ \cdot \ 10^{-6} \ \text m)^3 \ \cdot \ 753 \ \text {kg} / \text m^3 \ \cdot \ 9,81 \ \text m / \text s^2 \ \cdot \ 0,020 \ \text m}{3 \ \cdot \ 505 \ \text V} )

( q = 1,631057 \cdot 10^{-18} \ \text C )

Pisaran leijuessa voimat ovat Newtonin II lain mukaan yhtä suuret.

\Sigma \overline F = \overline 0

\overline F_s + \overline G = \overline 0

\Rightarrow F_s = G

Elektronien lukumäärä saadaan jakamalla varaus alkeisvarauksella.

N = \frac{q}{e}

N = \frac{1,631057 \ \cdot \ 10^{-18} \ \text C}{1,6022 \ \cdot \ 10^{-19} \ \text C}

N = 10,1801

N \approx 10

Pisteytys:

Oikea tasapainoyhtälö tai liikeyhtälö (Newtonin II laki) 2 p
Pisaran painon tai massan suureyhtälö tiheyden avulla tai määritetty massa tai paino oikein 2 p
Sähköisen voiman suureyhtälö esitetty potentiaalieron ja levyjen välimatkan avulla 2 p
Oikea suureyhtälö pisaran varaukselle tai pisarassa olevien elektronien lukumäärälle 2 p
Oikea vastaus kokonaislukuna 2 p

Pyöristyy kokonaislukuun, sillä elektroneja ei voi jakaa osiin.

N = \frac{4 \pi r^3 \rho gd}{3Ue}

tai

+ sijoitus

YO K11 T12+ (elektronisuihku)

Elektronin varauksen ja massan suhde e/m voidaan määrittää kuvan esittämällä laitteella. Keskellä sijaitsevan lasikuvun sisällä on pienipaineista heliumkaasua sekä elektronitykki, joka kiihdyttää elektroneja sähkökentän avulla. Elektronisuihku osuu heliumatomeihin, jotka virittyvät. Tällöin suihkun rata näkyy putken sisällä vihreänä juovana.

Kuvan ympärillä olevilla käämeillä saadaan aikaan elektronisuihkuun nähden kohtisuora homogeeninen magneettikenttä. Elektronit asettuvat magneettikentässä ympyräradalle. Taulukossa on eri kiihdytysjännitteillä ja magneettivuon tiheyksillä mitattuja radan säteitä.

a) Miksi elektronisuihku asettuu ympyräradalle? (2 p)

b) Miten elektronisuihkun rata muuttuu, kun kiihdytysjännitettä kasvatetaan ja magneettivuon tiheys pidetään vakiona? Perustele. (2 p)

c) Määritä sopivaa graafista esitystä käyttäen elektronin varauksen ja massan suhde. (5 p)

a) Miksi elektronisuihku asettuu ympyräradalle? (2 p)

Magneettikenttään nähden kohtisuorasti liikkuvaan elektroniin kohdistuu hiukkasen liikesuuntaa ja magneettikentän suuntaa vastaan kohtisuora magneettinen voima

F_m = qvB

Koska magneettinen voima on kohtisuorassa liikkeeseen nähden, elektronien radat ovat ympyräratoja.

F_m \perp v \perp B

Oikean käden sääntö positiiviselle hiukkaselle

Negatiivinen hiukkanen kokee voiman päinvastaiseen suuntaan, voi käyttää vasenta kättä

missä q on elektronin varaus (alkeisvaraus e), v sen nopeus ja B ulkoisen magneettikentän magneettivuon tiheys.

b) Miten elektronisuihkun rata muuttuu, kun kiihdytysjännitettä kasvatetaan ja magneettivuon tiheys pidetään vakiona? Perustele. (2 p)

Elektronit kiihdytetään sähkökentällä. Kun sähkökentän kiihdytysjännite kasvaa, elektronien nopeus kasvaa. (Sähkökenttä tekee työtä ja kasvattaa elektronien liike-energiaa: .)

Kirjoitetaan elektronien liikeyhtälö. Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = m \overline a_n

F_m = m a_n

evB = m \frac{v^2}{r}

eB = m \frac{v}{r}

r = \frac{mv}{eB}

Säteen suhteen ratkaistusta yhtälöstä nähdään, että säde on suoraan verrannollinen elektronin nopeuteen (r ~ v).

Täten siis nopeuden kasvaessa ympyräradan säde kasvaa.

W = qU = \Delta E_k

c) Määritä sopivaa graafista esitystä käyttäen elektronin varauksen ja massan suhde. (5 p)

U (V)	B (mT)	r (cm)
111	0,94	3,8
140	0,94	4,2
171	0,94	4,6
220	1,48	3,4
261	1,48	3,7
296	1,48	3,9

Elektronit liikkuvat tasaisesti ympyräradalla, jolloin niihin kohdistuu normaalikiihtyvyys kohti radan keskipistettä. Newtonin II lain mukaan

\Sigma \overline F = m \overline a_n

F_m = m a_n

evB = m \frac{v^2}{r}

Elektronit kiihdytetään sähkökentän avulla. Työ-energiaperiaatteen mukaan sähkökentän tekemä työ on yhtä suuri kuin elektronien liike-energian muutos.

W = \Delta E_k

eU = \frac{1}{2} mv^2

eB = m \frac{v}{r}

Ratkaistaan työ-energiaperiaatteesta lauseke nopeudelle.

eB = m \frac{v}{r}

Sijoitetaan tämä liikeyhtälöön.

eU = \frac{1}{2} mv^2

v^2 = \frac{2eU}{m}

eB = \frac{m}{r} \sqrt{ \frac{2eU}{m} }

v = \sqrt{ \frac{2eU}{m} }

e^2 B^2 = \frac{m^2}{r^2} \frac{2eU}{m}

eB^2 = \frac{2Um}{r^2}

\frac{e}{m} = \frac{2U}{r^2 B^2}

Varauksen ja massan suhteen eli ominaisvarauksen e/m lausekkeeksi saadaan

Nyt voidaan piirtää kuvaaja, jossa pystyakselilla on 2U ja vaaka-akselilla on r²B².

Tällöin suoran fysikaalinen kulmakerroin antaa varauksen ja massan suhteen e/m.

Tehdään lasketut sarakkeet ja piirretään kuvaaja.

Varauksen ja massan suhde e/m on kuvaajan mukaan

\frac{e}{m} = 1,741 \cdot 10^{11} \frac{\text C}{\text {kg}}

\frac{e}{m} \approx 1,7 \cdot 10^{11} \frac{\text C}{\text {kg}}

Huomioi yksiköt!

Jos kaikki suureet ovat perusyksiköissä, myös varaukselle ja massalle saadaan perusyksiköt eli C ja kg.

Jos laskettu keskiarvona, max. 2/5 p

YO S24 T7 Sähkölukko

Ovessa oleva sähkölukko avataan viemällä kulkutunniste lähelle lukulaitetta (kuva 7.A). Lukulaite luo ympärilleen magneettikentän, jossa tunniste aktivoituu ja oikean tunnisteen tapauksessa lukulaite avaa lukon.

Tunnisteen sijasta lukulaitteen pinnalle asetettiin käämi. Sen johtimien päiden välille oli kytketty vastus, jonka resistanssi oli 330 Ω kuvan 7.A mukaisesti. Tällöin oskilloskoopin avulla mitattiin vastuksen napojen välinen korkeataajuuksinen sinimuotoinen vaihtojännite, jonka amplitudi oli 1,2 V. Käämin oma resistanssi oli pieni, eikä käämi liikkunut mittauksen aikana.

7.1 Selitä miten vastuksen napojen välinen jännite syntyy. (4 p)

7.2 Käämiin kytketty vastus korvattiin toisella vastuksella, jonka resistanssi oli 1,0 kΩ. Kuinka suuri oli vaihtojännitteen amplitudi tämän vastuksen napojen välillä? Perustele vastauksesi. (4 p)

7.3 Käämiä siirrettiin kauemmaksi lukulaitteesta. Miksi mitatun jännitteen amplitudi pienenee? (4 p)

7.1 Selitä miten vastuksen napojen välinen jännite syntyy. (4 p)

Lukulaite luo ajassa muuttuvan magneettikentän. Kun sen lähelle tuodaan käämi, magneettikenttä läpäisee käämin.

Käämin läpäisevä magneettivuo muuttuu ajassa ja induktiolain mukaan käämiin indusoituu jännite, joka havaitaan vastuksen päiden välillä.

Induktiolaki

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB \cos \varphi)}{d t}

Magneettivuon muutosnopeus

Pisteytys:

On tunnistettu, että lukulaite synnyttää muuttuvan magneettikentän 2 p
- HUOM! Yleensä vaaditaan termi muuttuva magneettivuo, ei magneettikenttä
On kerrottu, että vastuksen napojen välinen jännite johtuu käämiin indusoituvasta jännitteestä 2 p
- Jos väittää, että käämiin indusoituu sähkövirta, joka saa aikaan jännitteen 0 p

7.2 Käämiin kytketty vastus korvattiin toisella vastuksella, jonka resistanssi oli 1,0 kΩ. Kuinka suuri oli vaihtojännitteen amplitudi tämän vastuksen napojen välillä? Perustele vastauksesi. (4 p)

Induktiolaki

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB \cos \varphi)}{d t}

Induktiolain mukaan indusoitunut jännite e riippuu käämin kierrosluvusta N, magneettivuon muutosnopeudesta dϕ/dt (joka toisaalta riippuu käämin poikkipinta-alan tai magneettivuon tiheyden muutosnopeudesta eli dA/dt tai dB/dt).

Toisin sanoen indusoitunut jännite riippuu vain käämin tai magneettikentän ominaisuuksista, ei vastuksen resistanssista.

Jännitteen amplitudi ei siis muutu, vaan se on edelleen 1,2 V.

Pisteytys:

On kerrottu perusteltuna jännitteen riippuvan vain kentän ja käämin ominaisuuksista 2 p
On kerrottu, että sen takia jännite pysyy ennallaan 2 p

7.3 Käämiä siirrettiin kauemmaksi lukulaitteesta. Miksi mitatun jännitteen amplitudi pienenee? (4 p)

Magneettivuon tiheys pienenee etäisyyden kasvaessa eli se on pienempi kauempana lukulaitteesta.

Tällöin käämin läpäisevä magneettivuokin on pienempi ja muutosnopeus on pienempi.

Induktiolain mukaan indusoitunut jännite on tällöin pienempi.

Induktiolaki

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB \cos \varphi)}{d t}

Pisteytys:

On mainittu, että magneettivuon tiheys pienenee, kun etäisyys lukulaitteesta kasvaa 2 p
On kerrottu, että tämän seurauksena käämin läpäisevän magneettivuon muutokset ovat pienempiä ja aiheuttavat pienemmän induktiojännitteen 2 p

Virheitä:

Väitetään, että käämin paikka vaikuttaa siihen, kuinka suuren kentän lukulaite synnyttää
Väitetään lukulaitteen synnyttämän magneettivuon tiheyden noudattavan suoran virtajohtimen magneettivuon tiheyden suureyhtälöä (todellisuus on monimutkaisempi, ei kuitenkaan pistevähennyksiä jos vaaditut asiat oikein)

B=\dfrac{{{\mu }_{0}}}{2\pi r}I

7.4 Kuvissa on esitetty kuusi mahdollista kuvaajaa magneettivuon tiheydelle B (paksu yhtenäinen viiva). Jokaiseen kuvaajaan on piirretty myös vastuksen napojen välinen jännite V (katkoviiva) vertailun helpottamiseksi. Mikä kuvaajista vastaa parhaiten magneettivuon tiheyttä ajan funktiona käämin kohdalla? (3 p)

Induktiolaki

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB \cos \varphi)}{d t}

Induktiolain mukaan jännitteen suuruus on suoraan verrannollinen magneettivuon muutosnopeuteen dϕ/dt.Muuttuvan magneettivuon aiheuttaa muuttuva magneettivuon tiheys B, jolloin induktiojännite on suoraan verrannollinen magneettivuon tiheyden muutosnopeuteen dB/dt.

Jännitteen muoto saadaan siis magneettivuon tiheyden derivaatan muodosta.

Kun derivoidaan kanttiaalto, saadaan jännitepiikkejä, joiden välissä jännite on 0. Hylätään vaihtoehdot 1 ja 5.

Magneettivuon tiheyden vakioarvo ei indusoi jännitettä. Hylätään vaihtoehto 2.

Sinin derivaatta on kosini. Sinimuotoinen magneettivuon tiheys tuottaa siis kosinimuotoisen jännitteen. Jäljellä on vaihtoehdot 3, 4 ja 6.

Sinin ja kosinin välinen vaihe-ero on 90° (π/2 eli neljäsosa-aalto). Oikea vaihtoehto on siis 6.

3 p

YO S22 T6 Sähkömagneettinen induktio

Kaikissa alla olevissa tapauksissa 6.1–6.5 neliön muotoinen johdinsilmukka on äärellisen kokoisessa homogeenisessa magneettikentässä. Valitse kussakin tapauksessa 6.1–6.5 se aineiston 6.A kuvaaja A–H, joka parhaiten kuvaa silmukkaan indusoituvaa sähkövirtaa ajan funktiona. Kukin aineiston kuvaajista voi olla oikea vastaus yhteen, useampaan tai ei yhteenkään osatehtävään.

6.1 Silmukkaa pyöritetään vakiokulmanopeudella silmukan pyörimisakselin ollessa kohtisuorassa kenttää vastaan. (3 p)

Induktiolain mukaan silmukkaan indusoitunut jännite on

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB \cos \varphi)}{d t} = NBA \omega \sin \omega t

Kun kulmanopeus ω on vakio, saadaan sinimuotoinen jännite ja sähkövirta.

Oikea vastaus on kuvaaja A.

6.2 Silmukkaa pyöritetään vakiokulmanopeudella silmukan pyörimisakselin ollessa kentän suuntainen. (3 p)

Induktiolain mukaan silmukkaan indusoitunut jännite on

Nyt silmukan asento ei muutu magneettikenttään nähden, jolloin magneettivuon muutosnopeus on nolla eikä jännitettä indusoidu.

Oikea vastaus on kuvaaja H.

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB \cos \varphi)}{d t} = NBA \omega \sin \omega t

\Rightarrow \frac{d \Phi}{d t} = 0

\varphi = 0 \Rightarrow \omega = 0

6.3 Silmukka on alussa paikallaan magneettikentän alueella. Silmukka päästetään putoamaan vapaasti nuolen suuntaan. (3 p)

Induktiolain mukaan silmukkaan indusoitunut jännite on

Silmukka putoaa tasaisella kiihtyvyydellä, joten magneettivuo silmukan läpi pienenee kiihtyvästi. Tällöin indusoituu tasaisesti kasvava jännite (neg. etumerkki).

Oikea vastaus on kuvaaja F.

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB)}{d t} = -NB \frac{d A}{d t}

6.4 Silmukka on paikallaan. Magneettikenttä häviää äkillisesti. (3 p)

Induktiolain mukaan silmukkaan indusoitunut jännite on

Magneettivuon tiheys muuttuu nopeasti, joten silmukkaan indusoituu hetkellisesti jännite.

Oikea vastaus on kuvaaja G.

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB)}{d t} = -NA \frac{d B}{d t}

6.5 Silmukka on paikallaan. Magneettikentän magneettivuon tiheys vuoron perään kasvaa ja heikkenee tasaisesti. (3 p)

Induktiolain mukaan silmukkaan indusoitunut jännite on

Kun magneettivuon tiheys muuttuu tasaisesti, indusoituu silmukkaan vakiojännite. (Suoran derivaatta on vakio).

Oikea vastaus on kuvaaja C.

e(t) = -N \frac{d \Phi}{d t} = -N \frac{d (AB)}{d t} = -NA \frac{d B}{d t}

Esimerkki: Massavaje ja hajoamisenergia

Kirjoita radium-226:n hajoamisreaktio. Laske reaktion massavaje ja hajoamisessa vapautuva energia.

_{88}^{226}{\text {Ra}} \rightarrow \ _{86}^{222}{\text {Rn}} \ + \ _{2}^{4}{\text {He}}

Radium-226 on alfa-aktiivinen aine (kts. isotooppitaulukko).

Hajoamisessa ytimestä vapautuu alfahiukkanen eli heliumatomin ydin. Emoytimestä syntyvä tytärydin on radon-222.

Tarkista, että massaluku ja järjestysluku säilyvät!

Taulukosta:

m(_{88}^{226}{\text {Ra}}) = 226,025 \ 402 \ \text u

m(_{86}^{222}{\text {Rn}}) = 222,017 \ 570 \ \text u

m(_{2}^{4}{\text {He}}) = 4,002 \ 6033 \ \text u

\Delta m = m_{\text {Ra-226-ydin}} - (m_{\text {Rn-222-ydin}} + m_{\alpha})

\Delta m = m_{\text {Ra-226-atomi}} - m_{\text {Rn-222-atomi}} - m_{\text {He-atomi}}

\Delta m = 0,0052287 \ \text u

Lasketaan ensin massavaje.

\Delta m = 226,025402 \ \text u - 222,017570 \ \text u - 4,0026033 \ \text u

Massavaje määrää tarkkuuden energialle!

Epätarkimmassa lähtöarvossa on 6 desimaalia, joten massavajeeseen 6 desimaalia.

\text u = 931,494 \ 102 \ \frac{\text {MeV}}{c^2}

\Delta m = [m_{\text {Ra-226-atomi}} -88 m_e] - [m_{\text {Rn-222-atomi}} - 86 m_e + m_{\text {He-atomi}} - 2 m_e]

\Delta m = m_{\text {Ra-226-atomi}} - m_{\text {Rn-222-atomi}} - m_{\text {He-atomi}} - 88 m_e + 86 m_e + 2 m_e

Ydin hajoaa!

Alfahajoamisessa voidaan kuitenkin laskea vain atomimassoilla

\Delta m \approx 0,005229 \ \text u

Q = 0,0052287 \ \text u \cdot c^2

Q = 0,0052287 \cdot 931,494102 \ \frac{\text {MeV}}{c^2} \cdot c^2

Q = 4,870 \ 503 \ 211 \ \text {MeV}

Hajoamisessa vapautuva energia on

Tämä energia menee kokonaan syntyneiden ytimien liike-energiaksi, tai jos ydin jää viritystilalle, syntyneen tytärytimen liike-energia on hieman pienempi.

Massavaje 0,005229 u määrää tässä tarkkuuden:

6 desimaalia, mutta vain 4 merkitsevää numeroa

Q = \Delta m c^2

Q \approx 4,871 \ \text {MeV}

YO S17 T9 (Tšernobyl)

Tšernobylin ydinvoimalaonnettomuus tapahtui Neuvostoliitossa vuonna 1986. Tuuli kuljetti useiden kuukausien ajan radioaktiivista ainesta myös Suomeen. Vuonna 1987 onnettomuusalueelta Suomeen tulleen Cs-137-laskeuman aktiivisuus neliömetriä kohden oli keskimäärin 11 kBq.

a) Cs-137-isotooppi hajoaa Ba-137-isotoopiksi. Kirjoita hajoamisyhtälö. (1 p)

b) Kuinka suuri oli Cs-137-laskeuman massa neliömetriä kohden? (3 p)

c) Montako prosenttia Cs-137-isotoopin määrä vuonna 2017 on vuonna 1987 mitatusta määrästä? (2 p)

a) Cs-137 hajoaa β- -hajoamisella.

_{55} ^{137} \text {Cs} \rightarrow _{56} ^{137} \text {Ba} + e^- + \overline \nu

b) Aineen hetkellinen aktiivisuus laskeuman hetkellä on

A_0 = \lambda N_0

missä λ on hajoamisvakio ja N0 on hajoavien ytimien lukumäärä.

Hajoamisvakion ja isotoopin puoliintumisajan T1/2 välillä on yhteys

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Laskeuman massa per neliömetri on

m_{\text {laskeuma}} = N_0 m_{\text {atomi}}

Ba-137:n lisäksi syntyy elektroni ja antineutriino

Muista nimetä λ!

Sijoitetaan lukuarvot:

\text {aktiivisuus per m}^2 \ A_0 = 11 \ \text {kBq} = 11 \ 000 \ \text {Bq}

\text {Cs-137:n puoliintumisaika} \ T_{1/2} = 30,7 \ \text {a} = 30,17 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \ \text s

\text {Cs-137:n massa} \ m_{\text {atomi}} = 136,907 073 \ \text u = 136,907 073 \cdot 1,660 \ 539\ \cdot 10^{–27} \text{ kg}

Sijoitetaan aktiivisuuden lausekkeesta ratkaistu hiukkasten lukumäärä sekä hajoamisvakion lauseke.

m_{\text {laskeuma}} = \frac{A_0}{\lambda} m_{\text {atomi}}

m_{\text {laskeuma}} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} A_0 m_{\text {atomi}}

m_{\text {laskeuma}} = N_0 m_{\text {atomi}}

m_{\text {laskeuma}} = 3,434261 \cdot 10^{-12} \ \text {kg}

m_{\text {laskeuma}} \approx 3,4 \ \text {ng}

c) Vuodesta 1987 vuoteen 2017 on 30 vuotta.

Lasketaan tämä vielä hajoamislain avulla.

N = N_0 e^{- \lambda t}

\frac{N}{N_0} = e^{- \lambda t}

\frac{N}{N_0} = e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}

\frac{N}{N_0} = e^{- \frac{\ln 2}{30,17 \ \text a} \ \cdot \ 30 \ \text a}

\frac{N}{N_0} = 0,501957 \approx 50 \ \%

Tämä on likimain Cs-137:n puoliintumisaika (30,17 vuotta), joten isotooppia on vuonna 2017 jäljellä noin 50 % vuonna 1987 mitatusta määrästä.

Tarkista, että yksiköt supistuvat eksponentista pois!

YO S22 T8.3 Hiiliajoitus

Hiili esiintyy luonnossa kahtena pysyvänä isotooppina ja sekä radioaktiivisena isotooppina . Ilmakehässä isotoopin lukumääräosuus on 98,9 % ja isotoopin lukumääräosuus on 1,1 %. Isotoopin osuus kaikesta ilmakehän hiilestä on , ja isotoopin puoliintumisaika on 5 730 vuotta.

Eräästä Itä-Suomessa sijaitsevasta kivikautisesta asuinpaikasta löytyi kaivauksissa nisäkkään luu, jolle tehtiin massaspektrometrillä hiilen isotooppisuhteiden määritys. Isotooppien ja lukumääräsuhteeksi saatiin . Arvioi, kuinka kauan aikaa sitten asuinpaikkaa käytettiin. (7 p)

^{12}\text C

^{13}\text C

^{14}\text C

^{12}\text C

^{13}\text C

^{14}\text C

1,2 \cdot 10^{-12}

^{14}\text C

^{13}\text C

3,5 \cdot 10^{-11}

Poimitaan tehtävänannosta lähtötietoja:

on pysyvä isotooppi, joten sen määrä luunäytteessä on mittaushetkellä sama kuin nisäkkään kuollessa.

^{13}\text C

N(^{13}\text C) = N_0(^{13}\text C)

on radioaktiivisesti hajoava isotooppi, joten sen määrä pienenee hajoamislain mukaisesti.

^{14}\text C

N(^{14}\text C) = N_0 (^{14}\text C) e^{- \lambda t} = N_0 (^{14}\text C) e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}

Luunäytettä tutkittaessa isotooppien lukumääräsuhteeksi saatiin mittauksissa

Nisäkkään kuollessa lukumääräsuhde oli yhtä suuri kuin isotooppien ja lukumääräsuhde ilmakehässä.

\frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} = \frac{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}}{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}}

\frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)} = 3,5 \cdot 10^{-11}

N_0(^{14}\text C) / N_0(^{13}\text C)

^{14}\text C

^{13}\text C

Puoliintumisaika

T_{1/2} = 5730 \ \text a

Koska mittauksen hetkellä lukumääräsuhde tiedetään, lähdetään kirjoittamaan yhtälöä sen suhteen.

\frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)} = \frac{N_0 (^{14}\text C) e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}}t}}{N_0 (^{13}\text C)} = \frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}

\frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)} = \frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} \cdot e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t}

Ratkaistaan yhtälöstä aika t.

e^{- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t} = \frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)}

- \frac{\ln 2}{T_{1/2}} t = \ln (\frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)})

t = - \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln (\frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)})

Sijoitetaan nyt lukuarvot ja ratkaistaan näytteen ikä.

Käännetään lukumääräsuhde toisinpäin.

\frac{N_0(^{14}\text C)}{N_0(^{13}\text C)} = \frac{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}}{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}} \Rightarrow \frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} = \frac{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}}{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}}

t = - \frac{5730 \ \text a}{\ln 2} \ln (\frac{1,1 \ \cdot \ 10^{-2}}{1,2 \ \cdot \ 10^{-12}} \cdot 3,5 \cdot 10^{-11})

t = 9397,80 \ \text a

N_0(^{14}\text C) / N_0(^{13}\text C)

t = - \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln (\frac{N_0(^{13}\text C)}{N_0(^{14}\text C)} \cdot \frac{N(^{14}\text C)}{N(^{13}\text C)})

t \approx 9400 \ \text a

Pisteytys:

Esitetty hajoamislain yhtälö, jossa hajoamisvakiota ei ole käytetty väärin 2 p
Kuluneen ajan suhteen ratkaistu suureyhtälö 2 p
Oikea lopputulos 3 p

YO K17 T9 (energiatasokaaviot)

Kuvissa A ja B oleviin energiatasokaavioihin on merkitty mahdolliset siirtymät eri energiatasojen välillä. Kuva A liittyy röntgensäteilyn tuottamiseen Cu-anodilla, kun anodiin osuu kiihdytettyjä elektroneja. Kuva B liittyy radioisotooppi Tc-99m tuottamiseen ja sen käyttöön lääketieteellisessä kuvantamisessa, jossa havainnoidaan gammasäteilyä. Vastaa lyhyesti seuraaviin kysymyksiin.

a) Mistä atomin rakenneosien energiatasoista on kyse kuvassa A, ja mikä perusvuorovaikutus on keskeinen niiden muodostumisessa? Miten viritystilat syntyvät? (2 p)

b) Mistä atomin rakenneosien energiatasoista on kyse kuvassa B, ja mitkä perusvuorovaikutukset ovat keskeisiä niiden muodostumisessa? Miten teknetiumytimen viritystila Tc-99m syntyy? (3 p)

c) Laske emittoituvan sähkömagneettisen säteilyn suurin mahdollinen aallonpituus sekä kuvassa A että kuvassa B esitetyissä siirtymissä. (1 p)

a) Mistä atomin rakenneosien energiatasoista on kyse kuvassa A, ja mikä perusvuorovaikutus on keskeinen niiden muodostumisessa? Miten viritystilat syntyvät? (2 p)

Kuvassa A on esitetty atomin elektroniverhon viritystilat.

Elektroniverhon energiatilat määräytyvät pääosin kupariatomin elektronien (-) ja ytimen (+) sähkömagneettisesta vuorovaikutuksesta, mutta myös elektronien välisellä sähkömagneettisella vuorovaikutuksella on merkitystä energiatasojen määräytymisessä (Paulin kieltosääntö).

Viritystilat syntyvät kiihdytettyjen elektronien luovuttaessa liike-energiaansa atomin elektroniverholle. Kupariatomin elektronin vastaanottama energia on vähintään yhtä suuri kuin K-kuoren elektronin irrottamiseen vaadittu energia.

Energioiden suuruusluokka on eV–keV.

b) Mistä atomin rakenneosien energiatasoista on kyse kuvassa B, ja mitkä perusvuorovaikutukset ovat keskeisiä niiden muodostumisessa? Miten teknetiumytimen viritystila Tc-99m syntyy? (3 p)

Kuvassa B on esitetty ytimen viritystilat, eli rakenneosat ovat protonit ja neutronit.

Ytimen energiatilat määräytyvät protonien ja neutronien välisestä vahvasta vuorovaikutuksesta ja protonien välisestä sähkömagneettisesta vuorovaikutuksesta. Ytimen koon luokkaa olevilla etäisyyksillä vahva vuorovaikutus synnyttää puoleensavetävän voiman.

Tc-99 ytimen viritystila syntyy, kun heikko vuorovaikutus aiheuttaa Mo-99 ytimen muuttumisen β– -hajoamisella Tc-99 ytimeksi. Beetahajoamisessa ytimen järjestysluku kasvaa (ZMo = 42, ZTc = 43) yhden neutronin muuttuessa protoniksi. Beetahajoamisen jälkeen Tc-99 ydin jää lyhytikäiseen viritystilaan, jonka purkautuessa vapautuu gammasäteilyä.

Energioiden suuruusluokka on MeV.

c) Laske emittoituvan sähkömagneettisen säteilyn suurin mahdollinen aallonpituus sekä kuvassa A että kuvassa B esitetyissä siirtymissä. (1 p)

Siirtymässä syntyvän fotonin energia on energiatasojen energioiden erotus.

E_{\text {fotoni}} = \Delta E

hf= \Delta E

\frac{hc}{\lambda}= \Delta E

\Rightarrow \lambda = \frac{hc}{\Delta E}

Kuvassa A suurin aallonpituus (pienin energia) tuotetaan siirtymällä L2 K.

Kuvassa B on vain yksi siirtymä, jossa syntyy SM-säteilyä.

\lambda = \frac{4,13567 \ \cdot \ 10^{-15} \ \text {eVs} \ \cdot \ 2,998 \ \cdot \ 10^8 \ \text {m/s}}{8979 \ \text {eV} - 952 \ \text {eV}} = 1,54463 \cdot 10^{-10} \ \text m \approx 0,15 \ \text {nm}

\lambda = \frac{4,13567 \ \cdot \ 10^{-15} \ \text {eVs} \ \cdot \ 2,998 \ \cdot \ 10^8 \ \text {m/s}}{0,435 \ \cdot \ 10^6 \ \text {eV} - 0,294 \ \cdot \ 10^6 \ \text {eV}} = 8,79342 \cdot 10^{-12} \ \text m \approx 8,8 \ \text {pm}

h = \text {Planckin vakio}

c = \text {valonnopeus}

Röntgen

Gamma

YO K23 T8 Pieni Curie

8.1 Artikkeli 8.A kuvaa ensimmäisessä maailmansodassa käytettyjä siirrettäviä röntgenkuvauslaitteita. Miksi röntgenlaitteita ei tuolloin voitu useinkaan kytkeä suoraan sähköverkkoon? (2 p)

8.2 Säteily voitiin havaita kuvalevyllä tai fluoroskoopilla. Fluoroskoopissa oli lasilevy, joka oli päällystetty fluoresoivalla aineella, ja sen läpi voitiin katsoa potilaan röntgenkuvaa esimerkiksi kuvassa 8.B esitetyllä tavalla. Ensimmäisen maailmansodan aikana molempien menetelmien käyttö oli perusteltua. Kumpaa tapaa käyttäisit itse nykypäivänä ja miksi? (5 p)

8.3 Miksi aineistoissa 8.A kuvattuja vammoja tai keuhkosairauksia voidaan havaita röntgenkuvantamisella? Aineistossa 8.C on esimerkki influenssapotilaan röntgenkuvasta vuodelta 1918. (8 p)

Tyypillinen röntgenlaitteisto painoi 100 kg ilman teholähdettä. Teholähteitä ei voitu standardoida, koska Ranskassa oli käytössä sekä tasa- että vaihtovirtaa ja jännitteet vaihtelivat 100 V:n ja 200 V:n välillä. Monista kenttäsairaaloiksi valituista rakennuksista puuttuivat vieläpä sähköt kokonaan, joten siirrettävät yksiköt olivat korvaamattomia.

Pisteytys:

Sähköä ei ollut kaikkialla. 1 p
Jännitteen tyyppi tai suuruus vaihteli eri alueilla. 1 p

Kaikissa kenttäsairaaloissa ei ollut sähköä. Lisäksi Ranskan sähköverkon jännite vaihteli ja se oli paikoin tasa- ja paikoin vaihtojännitettä.

Tyypillisiä virheitä:

Väitettiin, että jännitteen tyyppi ja suuruus vaihtelivat ajallisesti.

Fluoroskopia oli nopeampaa, mutta se aiheutti suuremman säteilyannoksen hoitohenkilökunnalle kuin kuvalevyllä kuvaaminen, koska siinä katsotaan suoraan röntgenlähdettä kohti.

Röntgensäteily on hyvin läpäisevää suhteellisen suurienergistä sähkömagneettista säteilyä. Täten se on ionisoivaa säteilyä.

Nykypäivänä ionisoivan säteilyn haitat tunnetaan paremmin ja säteilyltä suojautumista painotetaan enemmän, joten nykytiedon valossa kannattaa valita kuvalevy.

Pisteytys:

Valittu kuvalevy 2 p
Kerrottu, että kuvalevyä käytettäessä röntgenlähteestä saatava säteilyannos on pienempi tai fluoroskopiassa käytettäessä suurempi 3 p
Jos perustellaan vain säteilylle altistumisella, ei perustelupisteitä

Tyypillisiä virheitä:

Perusteltu valinta kuvantamisen hitaudella tai nopeudella
Väitettiin, että säteilyä tulee muualta kuin röntgenlähteestä

8.3 Miksi aineistoissa 8.A kuvattuja vammoja tai keuhkosairauksia voidaan havaita röntgenkuvantamisella? Aineistossa 8.C on esimerkki influenssapotilaan röntgenkuvasta vuodelta 1918. (8 p)

Röntgenkuvan kontrasti syntyy eroista säteilyn absorptiosta sen läpäistessä erilaisia aineita. Röntgensäteily absorboituu aineeseen pääsääntöisesti irrottamalla elektronin atomista.

Pehmytkudosten vammoja sillä on vaikeampi nähdä. Toisaalta röntgensäteilyä absorboituu hyvin vähän kaasuun, koska kaasun tiheys on pienempi kuin pehmytkudosten. Röntgenkuvauksella voi siis myös nähdä, jos keuhkoihin on kertynyt kaasun tilalle nestettä.

Eri aineilla on eri verran elektroneja. Siksi pehmytkudokset, jotka koostuvat pääosin pienen järjestysluvun alkuaineiden (kuten H, C ja O) muodostamista yhdisteistä, absorboivat vähemmän röntgensäteilyä kuin paljon kalsiumia sisältävä luukudos tai metalliset vierasesineet. Röntgenkuvantamisella voi siis havaita parhaiten luunmurtumia tai esimerkiksi sirpaleita.

Pisteytys:

Selitetty, että havaitaan eroja kehon läpi kulkeneessa säteilyssä 2 p
- Jos väitetään, että röntgensäteilyt heijastuvat potilaan sisällä, ei pisteitä jaeta
Selitetty alkuaineiden järjestysluvun vaikuttavan siihen, miten aine absorboi tai vaimentaa säteilyä 2 p
Selitetty aineiden tiheyden vaikuttavan siihen, miten aine absorboi tai vaimentaa säteilyä 2 p
Mainittu 1 kontrastia aiheuttava pari (esim. pehmytkudos ja luu) ja selitetty niiden erottuvan erilaisen absorption perusteella 2 p

Tyypillisiä virheitä:

Vastattiin kysymykseen mitä röntgenkuvantamisella voidaan nähdä
Selitettiin näytettyjä röntgenkuvia