Mekaniikan kertaus (FY04)

FY10 Kertausta abiturienteille

Tasaisen liikkeen kuvaajat

  • Liikettä voidaan esittää kuvaajien avulla
    • Vaaka-akselilla on aina aika t
    • Pystyakselilla on paikka x tai nopeus v

Nouseva tai laskeva suora

Vaakasuora vaaka-akselin ylä- tai alapuolella

(t, x)-kuvaaja

(t, v)-kuvaaja

Keskinopeus

  • Nopeus määritetään (t, x)-kuvaajasta käyrän kulmakertoimena
  • Keskinopeus lasketaan aina kahden pisteen välillä
    • Jos nopeus on tasaista, keskinopeus on sama kuin tasaisen liikkeen nopeus
v_k=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}

Paikka lopussa

Paikka alussa

Aika lopussa

Aika alussa

[v]=\frac{[x]}{[t]}=\frac{\text m}{\text s}

Hetkellinen nopeus

  • Hetkellinen nopeus on nopeus jonain tiettynä hetkenä t
  • Käyrälle piirretään tangentti yhteen pisteeseen
  • Tangentin kulmakerroin on hetkellinen nopeus
    • Hetkellinen nopeus on paikan aikaderivaatta
    • Graafinen derivointi (esim. mittausohjelmistolla)
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}

Paikan muutos (tangentista)

Ajan muutos (tangentista)

\frac{dx}{dt}

Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kuvaajat

  • Liikettä voidaan esittää kuvaajien avulla
    • Vaaka-akselilla on aina aika t
    • Pystyakselilla on paikka x, nopeus v tai kiihtyvyys a

Nouseva tai laskeva suora

Vaakasuora vaaka-akselin ylä- tai alapuolella

Ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli

(t, x)-kuvaaja

(t, v)-kuvaaja

(t, a)-kuvaaja

Keskikiihtyvyys

  • Kiihtyvyys määritetään (t, v)-kuvaajasta käyrän kulmakertoimena
  • Keskikiihtyvyys lasketaan aina kahden pisteen välillä
a_k=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}
[a] = \frac{[v]}{[t]} = \frac{\text m/\text s}{\text s} = \frac{\text m}{\text s^2}

Nopeus lopussa

Nopeus alussa

Aika lopussa

Aika alussa

Hetkellinen kiihtyvyys

  • Hetkellinen kiihtyvyys on kiihtyvyys jonain tiettynä hetkenä t
  • Käyrälle piirretään tangentti
  • Tangentin kulmakerroin on hetkellinen kiihtyvyys
    • Hetkellinen kiihtyvyys on nopeuden derivaatta
    • Graafinen derivointi (esim. mittausohjelmistolla)
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}

Nopeuden muutos (tangentista)

Ajan muutos (tangentista)

\frac{dv}{dt}

Kiihtyvyyden kuvaaja

  • Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kiihtyvyys on vakio
    • (t, a)-kuvaaja on vaakasuora
  • Jos kiihtyvyys muuttuu, kuvaaja on monimutkaisempi
  • Kiihtyvyyden määritelmä:
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\Delta v = a \Delta t

Integraali (pinta-ala) kertoo nyt nopeuden muutoksen

Liikeilmiöiden keskeiset suureyhtälöt

v=\frac{\Delta x}{\Delta t}(=\frac{s}{t})
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
s=v_0t+\frac{1}{2}at^2
v=v_0+at
v_k=\frac{v_0+v}{2}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
(s=x-x_0)
Tasainen liike Tasaisesti kiihtyvä liike
Nopeuden määritelmä

 		 Kiihtyvyyden määritelmä
Paikka ja matka

 		 Paikka ja matka



 

 		 Loppunopeus

 
Keskinopeus

 
s = vt
x=x_0+vt

Älä käytä tasaisen liikkeen mallia, jos liike on kiihtyvää!

Newtonin lait (mekaniikan peruslait)

  • Jatkavuuden laki (N I)
    • Jos kappale ei ole vuorovaikutuksessa toisen kappaleen kanssa, se pysyy levossa tai jatkaa tasaista liikettään suoraviivaisesti
  • Dynamiikan peruslaki (N II)
    • Kokonaisvoima antaa kappaleelle kiihtyvyyden F = ma
  • Voiman ja vastavoiman laki (N III)
    • Vuorovaikuttavat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtä suuret, mutta vastakkaisuuntaiset voimat

Erilaisia voimia

  • Voima on kappaleen liikemäärän muutosnopeus ja siten vuorovaikutuksen hetkellinen voimakkuus
  • Kappaleeseen voi kohdistua lukuisia voimia
    • Voimat voivat kokonaan tai osittain kumota toistensa vaikutuksen
  • Kappaleen liike on mahdollista ennustaa Newtonin II lain avulla tilanteesta riippumatta
    • Kappaleeseen vaikuttavien voimien summa täytyy tuntea

Voimakuviot

  • Tunnistetaan kappaleen kokemat vuorovaikutukset
    • Jokainen vuorovaikutus tarkoittaa kappaleeseen kohdistuvaa voimaa
  • Voimakuvioon merkitään kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat vektorinuolina
    • Vektorien suunnat ovat vuorovaikutusten suuntaiset
    • Vektoreiden pituudet kuvaavat voimien suuruuksia oikeissa suhteissa
    • Vektorit piirretään voiman vaikutuspisteeseen
  • Voimakuvion yhteydessä voimat myös nimetään
  • Yksi voimakuvio riittää kuvaamaan tilannetta, jos voimat eivät muutu

Kappaleen liikeyhtälöiden kirjoittaminen

  1. Piirretään kappaleen voimakuvio ja nimetään voimat.
  2. Merkitään voimakuvioon käytettävä koordinaatisto ja akseleiden positiiviset suunnat.
  3. Merkitään voimakuvioon kiihtyvyyden ja nopeuden suunnat (kun ne ovat tehtävän kannalta merkittävässä osassa).
  4. Kirjoitetaan Newtonin II lain matemaattinen lauseke:
  5. Kirjoitetaan vektorimuotoinen liikeyhtälö sekä sekä x- että y-suunnassa.
  6. Kirjoitetaan skalaarimuotoinen liikeyhtälö sekä x- että y-suunnassa.
  7. Kirjoitetaan muut tarvittavat yhtälöt ja ratkaistaan tuntemattomat suureet.
\Sigma \overline F = m \overline a
\Sigma \overline F = \overline 0

Voiman komponentit

  • Usean erisuuntaisen voiman yhteisvaikutus on kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima
    • Kokonaisvoima on voimien vektorisumma eli se koostuu useista eri voimista
  • Mikä tahansa voima voidaan jakaa kahteen keskenään kohtisuoraan komponenttiin
    • Voima kannattaa jakaa pinnan suuntaiseen ja pintaa vastaan kohtisuoraan komponenttiin
  • Voima F on komponenttien vektorisumma eli
\overline{F}=\overline{F}_x+\overline{F}_y

Kokonaisvoima

  • Kun kappaleeseen kohdistuu useita voimia, on määritettävä niiden yhteisvaikutus eli kokonaisvoima
  • Kokonaisvoima määräytyy laskemalla voimien vektorisumma

 

  • Graafisesti vektorisumma määritetään piirtämällä vektorit peräkkäin
    • Kun kokonaisvoima on nolla, voimavektorit muodostavat peräkkäin piirrettynä suljetun kuvion

 

 

 

 

  • Jos kappaleeseen vaikuttavien voimien summa ei ole nolla, se on Newtonin II lain perusteella kiihtyvässä liikkeessä
    • ​Kiihtyvyys osoittaa samaan suuntaan kuin kokonaisvoima
\Sigma \overline{F}
\overline G + \overline N + \overline F_\mu

Kitkavoima

  • Mikrotasolla kitka aiheutuu kahden kappaleen molekyylien välisistä vuorovaikutuksista
  • Liukukitka on suoraan verrannollinen pintojen väliseen tukivoimaan

 

 

  • Verrannollisuuskerroin      on liukukitkakerroin, joka on pinnoille ominainen vakio
  • Lepokitkalle pätee
F_\mu=\mu N
\mu
0 \le F_{\mu 0} \le \mu_0 N
\mu_0 = \text {lepokitkakerroin}

Hydrostaattinen paine ja noste

  • Hydrostaattinen paine on nesteen oman painovoiman aiheuttama paine
  • Hydrostaattinen paine on suoraan verrannollinen nesteen syvyyteen
  • Nesteessä olevaan kappaleeseen kohdistuu joka suunnasta ulkoisen paineen aiheuttama voima
  • Kappaleen yläpinnalla paine on pienempi kuin alapinnalla
    • Paine-ero aiheuttaa nosteeksi nimetyn voiman
p_h=\rho gh

Arkhimedeen laki (nosteen laki)

  • Nesteessä (tai kaasussa) kappaleeseen kohdistuu noste, joka on kappaleen syrjäyttämän nesteen (kaasun) painon suuruinen
    • Tämän verran voimaa tarvitaan painamaan kappale nesteeseen ja syrjäyttämään kyseinen nestemäärä
N=\rho gV
\rho = \text {väliaineen tiheys}
g = \text {putoamiskiihtyvyys}
V = \text {väliaineessa oleva tilavuus}
(\rho V = m \rightarrow N = mg = G)

!

Nosteen laki

  • Noste on kappaleen ylä- ja alapintojen välinen paine-erovoima
N=F_2-F_1
N=p_2A-p_1A
N=(p_0+\rho gh_2)A-(p_0+\rho gh_1)A
N=p_0A+\rho gh_2A-p_0A-\rho gh_1A
N=\rho gh_2A-\rho gh_1A
N=\rho g(h_2-h_1)A
N=\rho gV

Ilmanpaine

Hydrostaattinen paine

Väliaineen vastus

  • Ilmanvastus on voima, joka syntyy ilmassa liikkuvan kappaleen vuorovaikuttaessa ilman molekyylien kanssa
    • Vastaava voima kohdistuu kappaleeseen myös nesteessä, jolloin liikettä vastustavasta voimasta käytetään yleisnimeä väliaineen vastus​
  • Putoavan kappaleen nopeus kasvaa vain tiettyyn rajanopeuteen asti
    • Putoamisen alussa kiihtyvyys on suurimmillaan
    • Liikkeen edetessä nopeus suurenee, jolloin ilmanvastus kasvaa
    • Lopulta ilmanvastus on yhtä suuri kuin kappaleen paino             kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on nolla ja se putoaa tasaisella nopeudella
(F_i \sim v^2)

Vääntövaikutus eli momentti

  • Kappaleen pyörimisen saa aikaan momentti
  • Voiman momentti on voiman vääntövaikutusta kuvaava suure
    • Momentti liittyy erilaisiin vipuihin, suuriin koneisiin ja voimansiirtoon
  • ​Momentin takia kappale voi kiertyä kiertoakselinsa suhteen
    • Vääntövaikutus täytyy ottaa huomioon vain tilanteissa, joissa kappaleen kääntyminen on sekä mahdollista että kiinnostavaa
  • Tasaisesti koko kappaleeseen kohdistuva voima ei aiheuta momenttia
    • ​Voima pyrkii siirtämään kappaleen jokaista pistettä ja siten saa kappaleen liikkumaan asentoaan muuttamatta

Voima F ei aiheuta momenttia

Voima F aiheuttaa momentin

Momentin suuruus

  • Momentti riippuu vääntävästä voimasta ja sen etäisyydestä kiertoakseliin
  • Voiman momentti on voiman ja kiertoakseli​n ja voiman välisen vaikutussuoran kohtisuoran etäisyyden tulo

 

 

 

 

 

 

  • Momentin etumerkki ilmaisee vääntövaikutuksen kiertosuunnan
    • Yleensä sovitaan, että momentin kiertovaikutus myötäpäivään on negatiivinen ja vastapäivään positiivinen
\overline M = \overline F \times \overline r
[M]=[F][r]= \text N \cdot \text m = \text {Nm}
F \perp r
M = Fr

Newtonin II laki ja momenttiehto

  • Kappale on tasapainossa etenemisen ja pyörimisen suhteen, jos
    • kappaleeseen kohdistuvien voimien summa on nolla
    • kappaleeseen kohdistuvien momenttien summa on nolla
\Sigma \overline{F}=0
\Sigma M=0

Newton II

Momenttiehto

Statiikan tehtävän ratkaisu

  1. Piirrä voimakuvio.
  2. Valitse momenttipiste siten, että mahdollisimman moni momentti on nolla.
  3. Määritä momenttien positiiviset ja negatiiviset suunnat.
  4. Jaa tarvittaessa voimat komponentteihin ja kirjoita liikeyhtälöt voimille sekä momenteille (momenttiehto).
  5. Ratkaise halutut suureet.
  6. Pohdi onko ratkaisu mielekäs (merkkivirheet mahdollisia pitkissä laskuissa)!

Voiman tekemä työ

  • Kappaletta siirrettäessä voima tekee työn                                       

 

 

 

 

  • Voiman tekemä työ muuttaa energiaa muodosta toiseen tai siirtää sitä kappaleelta toiselle
    • Työ ei ole energiamuoto, vaan se kuvaa energian muutosta
  • Jos voiman suuruus muuttuu siirtymän aikana, malli                        ei kuvaa tilannetta
    • Työ voidaan tällöin määrittää keskimääräisen voiman avulla
W=Fs
[W] = [F][s] = \text N \cdot \text m = \text {kg} \cdot \text m/ \text s^2 \cdot \text m = \text J
W=Fs
s = \text {matka}
F = \text {voima}

Työ kuvaajan avulla

  • Työ on voiman ja matkan tulo
  • Työn suuruus saadaan (s, F)-kuvaajasta graafisesti integroimalla
    • ​Lasketaan vaaka-akselin ja käyrän väliin jäävä pinta-ala

Liike-energia

  • Kappaleen liikkeeseen varastoitunut energia on liike-energiaa (kineettistä energiaa)
  • Liike-energian muuttamiseksi on tehtävä työtä
W = \Delta E_k
E_k
  • Liike-energian         määrä on                                                                  
E_k = \frac{1}{2}mv^2
v = \text {kappaleen nopeus}
m = \text {kappaleen massa}
E_k

Työ muuttaa liike-energiaa

  • Voiman muuttaessa kappaleen liikettä sen tekemä työ on yhtä suuri kuin kappaleen liike-energian muutos
  • Voiman tekemä työ voi kasvattaa tai pienentää kappaleen liike-energiaa
    • Voima liikkeen suuntainen: liike-energia kasvaa
    • Voima liikettä vastaan: liike-energia pienenee
    • Jos voima ei ole liikkeen suuntainen, voima ei tee työtä
  • Työ-energiaperiaate: (kokonais)voiman tekemä työ W muuttaa kappaleen liike-energiaa
E_{k_{alku}} \pm W = E_{k_{loppu}}

Painon potentiaalienergia

  • Painovoima saa kappaleet putoamaan, ja toisaalta se myös vastustaa kappaleiden nostamista
    • Jotta kappale nousee ylöspäin, on kappaleeseen tehtävä työtä painovoimaa vastaan yhtä suurella nostovoimalla
    • Kappaleen liike-energia ei nostossa muutu
  • Tehty työ on

 

 

 

 

  • Tehty työ varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi​                  
W = Fs = Gh = mgh
m = \text {kappaleen massa}
h = \text {kappaleen siirtymä pystysuunnassa (korkeus nollatasoon nähden)}
g = \text {putoamiskiihtyvyys}
W = E_p = mgh

Konservatiivinen voima

  • Voimaa kutsutaan konservatiiviseksi voimaksi, kun sitä vastaan tehty työ varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi
  • Konservatiivinen voima pyrkii palauttamaan kappaleen tiettyyn paikkaan tai tietylle korkeudelle
Konservatiivisia Ei-konservatiivisia
Painovoima Kitkavoima
Jousivoima Ilmanvastus
Sähköinen voima Työntö- / vetovoima

Mekaaninen energia

  • Kaikissa luonnonilmiöissä energia säilyy, mutta se voi muuttaa muotoaan
  • Mekaniikassa tarkastellaan rajattuja systeemejä ja niiden energiaa
  • Kappaleen energia voi muuttua ulkoisen voiman vaikutuksesta
    • Tehty työ voi muuttaa sekä kappaleen liike- että potentiaalienergiaa
  • Kappaleen liike- ja potentiaalienergian summaa kutsutaan mekaaniseksi energiaksi
E_{mek} = E_k + E_p

mekaaninen energia

=

liike-energia

+

potentiaali-energia

Energiaperiaate

  • Työn ja mekaanisen energian yhteys ilmaistaan työ-energiaperiaatteena

 

 

  • Työ on positiivinen, jos se kasvattaa systeemin mekaanista energiaa
    • ​Ja vastaavasti negatiivinen, jos se pienentää mekaanista energiaa
  • Energiaperiaatetta soveltaessa konservatiivisten voimien tekemää työtä ei tarvitse ottaa huomioon
    • Konservatiivisten voimien tekemä työ näkyy potentiaalienergian muutoksena
E_{mek_{alussa}} \pm W = E_{mek_{lopussa}}

Mekaanisen energian säilymislaki

  • Jos kaikki työtä tekevät voimat ovat konservatiivisia, systeemin mekaaninen energia on alku- ja lopputilanteessa yhtä suuri

 

 

  • Systeemin mekaaninen energia voi kuitenkin muuttua muodosta toiseen
    • Potentiaalienergiasta liike-energiaksi tai liike-energiasta potentiaalienergiaksi
    • Energian muutos tapahtuu potentiaali- ja liike-energioiden välillä, mutta niiden summa säilyy
  • Tätä kutsutaan mekaanisen energian säilymislaiksi
E_{k_{alussa}} + E_{p_{alussa}} = E_{k_{lopussa}} + E_{p_{lopussa}}
E_{mek_{alussa}} = E_{mek_{lopussa}}
\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2

Liikemäärän säilyminen

  • Kokonaisliikemäärä ei muutu vuorovaikutustapahtumassa
    • Vuorovaikuttavien kappaleiden liikemäärien summa on sama ennen ja jälkeen vuorovaikutustapahtuman

 

 

 

 

 

 

  • ​Nopeus on vektorisuure, joten nopeuksien suunnat pitää huomioida etumerkeissä (tai sijoituksissa)!
\overline p_{alku} = \overline p_{loppu}
\overline p_{A1} + \overline p_{B1} = \overline p_{A2} + \overline p_{B2}
m_{A} \overline v_{A1} + m_{B} \overline v_{B1} = m_{A} \overline v_{A2} + m_{B} \overline v_{B2}

Impulssiperiaate

  • Kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima muuttaa kappaleen nopeutta
    • Nopeuden muutos riippuu voiman vaikutusajasta
    • Kokonaisvoima antaa kappaleelle impulssin, joka on voiman ja sen vaikutusajan tulo
\Delta \overline p = \overline I = \overline F \Delta t
\overline F = \frac{\Delta \overline p}{\Delta t}
\Delta \overline p = \overline F \Delta t
m \Delta \overline v = \overline F \Delta t
\overline F = \frac{\Delta \overline p}{\Delta t}=\frac{m\Delta \overline v}{\Delta t} = m \overline a

Impulssiperiaatteesta saadaan Newtonin II laki:

Impulssi kuvaajan avulla

  • Impulssin on voiman ja sen vaikutusajan tulo
  • Impulssi saadaan (t, F)-kuvaajasta graafisesti integroimalla
    • Lasketaan siis käyrän ja vaaka-akselin väliin jäävä pinta-ala

Liike-energia törmäyksissä

  • Liikemäärä säilyy kaikissa systeemeissä, joihin ei vaikuta ulkoisia voimia
  • Sen sijaan liike-energian säilyminen tai muuttuminen törmäyksessä riippuu törmäävien kappaleiden ominaisuuksista 
  • Kimmoisassa törmäyksessä liike-energia säilyy
    • Kappaleiden muodonmuutokset palautuvat
  • Täysin kimmottomassa törmäyksessä liike-energia ei säily
    • Liike-energia muuttuu lämmöksi ja kappaleen muodonmuutoksiin
    • Kimmottomassa törmäyksessä kappaleet voivat takertua toisiinsa

Mekaniikan ongelmien ratkaiseminen

  • Mekaniikan tehtäviä voidaan ratkoa (ja perustella!) keskeisten periaatteiden avulla
    • Newtonin II laki
    • Energiaperiaate
    • Impulssiperiaate
  • Sopivan periaatteen valinta riippuu tilanteessa ratkaistavista suureista ja tunnetuista alkuarvoista
    • Usein yksi näistä on tilanteen ratkaisemiseksi hyödytön
    • Kahdesta käyttökelpoisesta tavasta ongelma ratkeaa helpommin toisella
  • ​Lisäksi tehtävässä voidaan tarvita kinematiikan lausekkeita

Keskeiset periaatteet

Newtonin II laki Energiaperiaate Impulssiperiaate
Matemaattinen malli
Periaatteen erikoistapaus  
Sovellus-tilanteita 1) Käsitellään kiihtyvyyksiä ja/tai aikoja
2) Voima on vakio		 1) Vertaillaan alku- ja lopputilanteita (ajalla ei väliä)
2) Paikan suhteen muuttuva voima		 1) Lyhytkestoinen vuorovaikutus
2) Ajan suhteen muuttuva voima
\Sigma \overline{F} = m \overline{a}
\Delta \overline{p} = \overline{I} = \overline{F} \Delta t
E_1 \pm W = E_2
\Sigma \overline{F} = 0
E_{{mek}_{alussa}} = E_{{mek}_{lopussa}}
\overline{p}_1 = \overline{p}_2