Ympyräliikkeen, gravitaation ja harmonisen värähtelyn kertaus (FY05)

FY10 Kertausta abiturienteille

Ympyräliikkeen suureita

  • Jaksonaika ja taajuus ovat jaksollisen liikkeen perussuureita
  • Kaikki jaksollinen liike ei tapahdu sekuntien aikaskaalassa
    • Kierrostaajuus n kertoo kierrosten lukumäärän minuutissa (RPM)
  • Ympyräliikkeessä yhden kierroksen pituus on

 

 

  • Ympyrän kehällä etenemisliikkeen nopeutta kutsutaan ratanopeudeksi v
s = 2 \pi r
v = \frac{s}{T} = \frac{2 \pi r}{T}

Kulmasuureita

  • Ympyräliike: kappaleen paikka muuttuu
    • Kappale pyörii toistuvasti ympyrärataa
  • Pyörimisliike: kappaleen asento muuttuu
    • Kappale pyörii akselinsa ympäri
  • Kiertokulma
  • Kaaren pituus
  • Yksi kierros
  • Kulmanopeus on kiertokulman muutos aikayksikössä

 

  • Kulmanopeuden ja pyörimisnopeuden välillä on yhteys

 

  • Ratanopeuden ja kulmanopeuden yhteys on                  
\phi = \frac{s}{r}
s = \phi r
\phi = \frac{s}{r} = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi \ \text {rad} = 360 \degree
\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}
\omega = 2 \pi n
v = r \omega
1 \ \text {rad} = \frac{360 \degree}{2 \pi}
1 \degree = \frac{2 \pi \ \text {rad}}{360 \degree}

Etenemis- ja pyörimisliikkeen vertailua

Etenemisliike Pyörimisliike
Paikka x Kiertokulma φ
Siirtymä Δx Kiertymä Δφ
Nopeus
 		 Kulmanopeus
Kiihtyvyys
 		 Kulmakiihtyvyys
Tasainen liike
 
Kiihtyvä liike
 
v = \frac {\Delta x}{\Delta t}
\omega = \frac {\Delta \varphi}{\Delta t}
a = \frac {\Delta v}{\Delta t}
\alpha = \frac {\Delta \omega}{\Delta t}
x = x_0 + v_0t
\varphi = \varphi_0 + \omega _0t
x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2
\varphi = \varphi_0 + \omega_0t + \frac{1}{2} \alpha t^2

Suunnan muutos ja kiihtyvyys

  • Nopeus on vektorisuure
    • Nopeudella on suunta ja suuruus
  • Jos nopeuden suuruus muuttuu, kappale on kiihtyvässä liikkeessä
  • Jos nopeuden suunta muuttuu, kappale on kiihtyvässä liikkeessä
\Delta \bar v = \bar v_2 - \bar v_1
\Delta v = v_2 - v_1
\Delta v = -v_2 - v_1 = - (v_2 + v_1)

A:

B:

Normaalikiihtyvyys

  • Normaalikiihtyvyys on suunnan muutoksesta johtuva kiihtyvyys
  • Normaalikiihtyvyys lasketaan nopeuden v ja radan säteen r avulla
  • Normaalikiihtyvyyden suunta on kohti radan keskipistettä
\bar{a} = \frac{\Delta \bar{v}}{\Delta t}
a_n = \frac{v^2}{r}
\Delta \bar v = \bar v_2 - \bar v_1

Kokonaisvoima ja liike

  • Kokonaisvoima saa kappaleen kiihtyvään liikkeeseen
  • Kokonaisvoiman ja kiihtyvyyden suunnat ovat samat
  • Kokonaisvoima erityyppisen liikkeen aiheuttajana
    • Samansuuntainen kuin liike: suoraviivainen liike, jossa nopeus kasvaa
    • Vastakkaissuuntainen kuin liike: suoraviivainen liike, jossa nopeus pienenee
    • Kohtisuorassa liikkeen suuntaan nähden: ympyräliike tasaisella nopeudella

Tasainen ympyräliike

  • Tasaisessa ympyräliikkeessä nopeus on vakio
  • Suunnan muutoksen aiheuttaa kokonaisvoima, jonka suunta on kohti radan keskipistettä
  • Kokonaisvoiman suuruus lasketaan Newtonin II lain avulla

 

 

  • Suunnan muutoksen aiheuttavia voimia voivat olla                           
    • Paino
    • Langan tukivoima
    • Kitka
    • Pinnan tukivoima
\Sigma \bar F = m \bar a

Tasaisen ympyräliiketilanteen ratkaisu

  1. Tunnista vaikuttavat voimat ja piirrä voimakuvio
  2. Valitse yksi koordinaatiston suunnista kohti radan keskipistettä ja toinen sitä kohtisuoraan suuntaan
  3. Kirjoita Newtonin II lain mukainen liikeyhtälö valituissa suunnissa
  4. Ympyräradan säteen suunnassa kappaleella on normaalikiihtyvyys
  5. Ympyräradan tangentin suunnassa kiihtyvyys on nolla tasaisessa ympyräliikkeessä
  6. Ratkaise yhtälöistä kysytyt suureet

Gravitaation alainen liike

  • Avaruudessa kappaleiden liike noudattaa yleistä gravitaatiolakia
  • Ainoa vaikuttava voima on gravitaatiovoima
  • Tyypillisiä tilanteita, jotka ratkaistaan gravitaatiolain avulla
    • Satelliittien liike Maan ympäri
    • Kuiden liike planeettojen ympäri
    • Planeettojen liike Auringon ympäri

Gravitaatiolaki

  • Kappaleiden välisen gravitaatiovoiman G yleinen muoto on                           

 

 

  • Suureyhtälössä       on yleinen gravitaatiovakio, m kappaleiden massat, joiden välillä vuorovaikutus syntyy ja r on kappaleiden välinen etäisyys
  • Gravitaatiovakio on luonnonvakio

 

 

  • Painon lauseke maanpinnalla G = mg on johdettu yleisestä gravitaatiolaista
G = \gamma \frac{m_1 m_2}{r^2}
\gamma
\gamma = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac {\text {Nm}^2}{\text {kg}^2}

Gravitaatiokenttä

  • Massa synnyttää ympärilleen gravitaatiokentän
  • Gravitaatiovuorovaikutus selitetään gravitaatiokentän avulla
  • Gravitaatiovuorovaikutuksesta syntyvä kiihtyvyys g kuvaa gravitaatiokentän voimakkuutta
  • Lähellä Maan pintaa gravitaatiokentän voimakkuus on vakio

 

 

  • Gravitaatiokentälle johdetaan lauseke                                                 
g = 9,81 \ \text m/ \text s^2
g = \frac{G}{m} = \gamma \frac{M}{r^2}
E = \frac{F_s}{Q}

vrt. sähkökenttä

Gravitaatioenergia

  • Gravitaatiokenttään sitoutuu potentiaalienergiaa
  • Potentiaalienergia kasvaa, kun siirrytään kauemmas kentän lähteestä
  • Tehdään siis työ

 

 

  • Gravitaatiokentän potentiaalienergia on                                              

 

 

  • Potentiaalienergia on negatiivinen ja lähestyy nollaa etäisyyden kasvaessa
    • Potentiaalienergian nollataso on äärettömän kaukana
E_P = - \gamma \frac{m_1m_2}{r}
W = \Delta E_P = E_{P \infty} - E_{Pr} = 0 - \gamma \frac{m_1m_2}{r}

Erityisiä nopeuksia

  • Pakonopeus taivaankappaleen pinnalta
    • Gravitaatiovuorovaikutus ei palauta kappaletta takaisin taivaankappaleen pinnalle
    • Päästään ympyräradalle, jonka säde on taivaankappaleen säde
    • Pakonopeus Maan pinnalta on noin 7,9 km/s
  • Pakonopeus taivaankappaleen gravitaatiovoimakentästä
    • Gravitaatiovuorovaikutus ei pidä kappaletta enää kiertoradalla
    • Kappaleen liike-energia on suurempi kuin potentiaalienergia (kokonaisenergia on positiivinen)
    • Pakonopeus Maan gravitaatiokentästä on noin 11,2 km/s
    • ​Pakonopeus Aurinkokunnasta on noin 42,1 km/s

Erityisiä ratoja

  • Geostationäärinen rata
    • Satelliitti pysyy taivaankappaleen saman pinnankohdan yläpuolella
    • Satelliittin kiertoaika taivaankappaleen ympäri on yhtä suuri kuin taivaankappaleen pyörähdysaika akselinsa ympäri
  • Lagrangen piste
    • Pisteessä kahden taivaankappaleen aiheuttamat gravitaatiovoimat saavat kolmannen kappaleen pysymään paikallaan taivaankappaleisiin nähden

Ilmassa tapahtuvan liikkeen mallit

  • Maanpinnan suuntainen liike on tasaista
  • Pystysuunnassa liike on tasaisesti kiihtyvää
    • Kiihtyvyys on likimain putoamiskiihtyvyys

Heittoliike

  • Heittoliiketilanteissa nopeudet x- ja y- suunnassa ovat                     

 

 

 

 

  • Kappaleen paikat x- ja y-suunnassa ovat                                             

 

 

 

 

  • Nopeuden ja paikan koordinaatisto on valittu siten, että liike ja siirtymä ylöspäin ovat positiivisia
v_x(t) = v_{0_x}
v_y(t) = v_{0_y} - gt
x(t) = v_{0_x}t
y(t) = v_{0_y}t - \frac{1}{2}gt^2

Tasainen liike

Kiihtyvä liike

Tasainen liike

Kiihtyvä liike

Liikkeen komponentit

  • Vinossa heittoliikkeessä kappaleen vaakasuuntainen nopeus ei muutu
  • Koska paino muuttaa pystysuuntaista nopeutta, kappaleen liikkeen suunta muuttuu maanpinnan tasoon nähden
  • Vaaka- ja pystysuora nopeus ovat kohtisuorasti toisiinsa nähden
    • Liikkeen nopeuden suuruus saadaan Pythagoraan lauseella
v(t)=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}
\cos \theta = \frac{v_x(t)}{v(t)}
\sin \theta = \frac{v_y(t)}{v(t)}

Harmoninen värähtelijä

  • Harmonisessa värähtelijässä kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima
    • Voima on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
  • Harmonisen värähtelijän paikka, nopeus, kiihtyvyys ja voima tuottavat sinimuotoisen käyrän ajan funktiona
    • Paikan ja nopeuden välillä on neljännesvaiheen ero
    • Paikka ja kiihtyvyys ovat vastakkaisissa vaiheissa
    • Kiihtyvyys ja voima ovat samassa vaiheessa (Newtonin II laki)

Voima

Paikka

Nopeus

Jousivoima

  • Tasapainoasemastaan poikkeutettu jousi palaa jousivoiman ansiosta takaisin tasapainoasemaansa
  • Jousivoima F on suoraan verrannollinen poikkeamaan x tasapainoasemasta

 

 

  • Verrannollisuuskerroin on jousivakio k  
  • Jousivoima on harmoninen voima (voima ja poikkeama suoraan verrannolliset)                              
F = kx
\overline F = -k \overline x

Jousivoiman ja poikkeaman suunnat ovat vastakkaiset:

Jousen potentiaalienergia

  • Venyneeseen tai puristuneeseen jouseen varastoituu potentiaalienergiaa

 

 

 

  • Kun jousi vapautetaan, potentiaalienergiaa muuttuu liike-energiaksi
  • Värähtelevän jousen mekaaninen energia säilyy
E_P = \frac{1}{2}kx^2
E_P + E_K = \text {vakio}
E_P
\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \text {vakio}
\frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}mv_2^2

Jousen energia eri asennoissa

  • Kun värähtelijä on ääriasennossa, eli poikkeama on amplitudi A, kaikki värähdysliikkeen energia on potentiaalienergiaa

 

 

 

  • Kun värähtelijä on tasapainoasemassa, kaikki värähdysliikkeen energia on liike-energiaa
E = \frac{1}{2}kA^2
E = \frac{1}{2}mv_{max}^2

Jousen jaksonaika ja resonanssi

  • Ideaaliselle harmoniselle värähtelijälle voidaan johtaa lauseke                                                            

 

 

 

  • Värähtelijän jaksonajan käänteisluku on värähtelytaajuus eli ominaistaajuus

 

 

  • Resonanssi on ilmiö, jossa värähtely voimistuu
    • Värähtelijä vastaanottaa energiaa taajuudella, joka vastaa värähtelijän ominaistaajuutta
T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

T = jousen jaksonaika        m = punnuksen massa          k = jousivakio

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

Heilurin jaksonaika

  • Ideaaliselle heilurille voidaan johtaa lauseke                                   

 

 

 

 

  • Heilurin ominaistaajuus on                                                                     
T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

T = heilurin jaksonaika          l = langan pituus            g = putoamiskiihtyvyys

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}