計數原理
1
邏輯簡介
2
集合簡介
3
基本計數原理
4
其他原理
邏輯簡介
敘述
在數學的語言裡，能判斷其為對或錯的語句，稱為敘述。
「 1 + 2 = 4 」
True
False
「 1 + 2 = 4 」
「 1 + 2 = 4 」
True
False
「三角形三內角和為 180º 」
True
False
「三角形三內角和為 180º 」
True
False
「 1 + 2 = 4 」
「三角形三內角和為 180º 」
「 1 + 2 = 4 」
邏輯簡介
且、或
且
兩個都要對才是對
或
其中一個對就對
「 1 + 2 = 3 」
「 1 + 2 = 4 」
「 1 + 1 = 2 」
「 1 + 1 = 3 」
True
False
True
False
「 1 + 2 = 3 」
「 1 + 2 = 4 」
「 1 + 1 = 2 」
「 1 + 1 = 3 」
True
False
True
False
且
是一個對的敘述
「 1 + 2 = 3 」
「 1 + 2 = 4 」
「 1 + 1 = 2 」
「 1 + 1 = 3 」
True
False
True
False
且
是一個錯的敘述
或
「 1 + 2 = 3 」
「 1 + 2 = 4 」
「 1 + 1 = 2 」
「 1 + 1 = 3 」
True
False
True
False
且
是一個對的敘述
或
「 1 + 2 = 4 」
「 1 + 1 = 2 」
「 1 + 1 = 3 」
False
True
False
且
是一個錯的敘述
或
「 1 + 1 = 3 」
False
當兩個敘述 p 與 q 皆對時
「 p 且 q 」才是對的敘述
否則就是錯的敘述
常以符號「 p ∧ q 」表示「 p 且 q 」
當兩個敘述 p 與 q 至少有一對時
「 p 或 q 」才是對的敘述
否則就是錯的敘述
常以符號「 p ∨ q 」表示「 p 且 q 」
邏輯簡介
否定
否定一個敘述 p 而成另一個新的敘述
~ p
敘述 p 為「 2 是整數 」
稱此新的敘述為 p 的否定敘述
「 2 不是整數 」
「 3 是質數 」
「 3 不是質數 」
邏輯簡介
笛摩根定律
敘述「 p 且 q 」的否定敘述為
「 非 p 或非 q 」
~ ( p ∧ q ) = ( ~ p ) ∨ ( ~ q )
敘述「 p 或 q 」的否定敘述為
「 非 p 且非 q 」
~ ( p ∨ q ) = ( ~ p ) ∧ ( ~ q )
邏輯簡介
例題
選出對的敘述：
(1) 三角形的兩邊之和大於第三邊
(2) 2 是質數或 4 是質數
(3) 2 是質數且 4 是質數
(4) x = 1 或 y = 2 的否定敘述為 x ≠ 1 或 y ≠ 2
(5) x = 1 且 y = 2 的否定敘述為 x ≠ 1 且 y ≠ 2
選出對的敘述：
(1) 三角形的兩邊之和大於第三邊
(2) 2 是質數或 4 是質數
(3) 2 是質數且 4 是質數
(4) x = 1 或 y = 2 的否定敘述為 x ≠ 1 或 y ≠ 2
(5) x = 1 且 y = 2 的否定敘述為 x ≠ 1 且 y ≠ 2
選出對的敘述：
(1) 5 >= 5
(2) √4 = -2 或 √4 = 2
(3) √4 = -2 且 √4 = 2
(4) x = 1 的否定敘述為 x ≠ 1
(5) 0 < x < 2 的否定敘述為 x ≤ 0 或 x ≥ 2
選出對的敘述：
(1) 5 >= 5
(2) √4 = -2 或 √4 = 2
(3) x = 1 的否定敘述為 x ≠ 1
(4) x = 1 的否定敘述為 x ≠ 1
(5) 0 < x < 2 的否定敘述為 x ≤ 0 或 x ≥ 2
集合簡介
集合是由一些
滿足某些條件之元素
所組成的整體
偶數組成的集合 S
2
4
6
8
10
若 a 是集合 S 中的一個元素
a ∈ S
2 ∈ S
若 a 不是集合 S 中的一個元素
a ∉ S
1 ∉ S
集合 S 不包含任何元素
∅
集合簡介
集合的表示法
列舉法：
小於六的整數組成的集合
描述法：
偶數組成的集合
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
S = { 2n | n ∈ ℝ}
n 是實數
集合簡介
子集、相等、個數
當集合 A 中的每一個元素都是集合 B 的元素時
稱 A 是 B 的一個子集
A ⊂ B 或 B ⊃ A
空集合 ∅ 為任一集合 A 的子集
∅ ⊂ A
當兩個集合 A 與 B 滿足條件 A ⊂ B 且 B ⊂ A 時
兩個集合相等
A = B
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
個數
n(A) = 5
集合簡介
例題
利用列舉法表示所有
12 的正因數
組成的集合：
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
利用描述法表示所有
小於100 且被 3 除 1 的正整數
組成的集合：
A = { 3k+1 | 0 ≤ k ≤ 32, k為整數 }
利用列舉法表示
集合 A = { x | x^2 - x - 2 = 0 }
A = { -1, 2 }
利用描述法表示所有
小於1000 且被 5 整除的正整數
組成的集合：
A = { 5k | 1 ≤ k ≤ 199, k為整數 }
列出 S = { a, b, c } 的所有子集：
{ ∅ }
{ a }, { b }, { c }
{ a, b }, { a, c }, { b, c }
{ a, b, c }
列出 S = { 1, 2 } 的所有子集：
{ ∅ }
{ 1 }, { 2 }
{ 1, 2 }
已知 A = { 2, 2r, 2r^2 } 與
B = { -4, -4 + d, -4 + 2d } 相等
求實數 r, d 的值
r = -2, d = 6
已知 A = { x - 1, y - 2 } 與
B = { x + y, 2x + 3 } 相等
求實數 x, y 的值
x = -3, y = -1
集合簡介
聯集、交集、差集、宇集、補集
A ⋃ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }
A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B }
A - B = { x | x ∈ A 但 x ∉ B }
A ∩ A'=U, A' = { x | x ∈ U, x ∉ A }
集合簡介
笛摩根定律
( A ∩ B )' = A' ⋃ B'
( A ⋃ B )' = A' ∩ B'
集合簡介
例題
設 A 為所有 6 的正因數組成的集合
B 為所有 10 的正因數組成的集合
求 (1) A ∩ B (2) A ⋃ B (3) A - B (4) B - A
{1, 2}, {1, 2, 3, 5, 6, 10}, {3, 6}, {5, 10}
設 A 為所有 8 的正因數組成的集合
B 為所有 15 的正因數組成的集合
求 (1) A ∩ B (2) A ⋃ B (3) A - B (4) B - A
{1}, {1, 2, 3, 4, 5, 8, 15}, {2, 4, 8}, {3, 5, 15}
設 U = {1, 2, 3, 4} 為宇集
為所有 8 的正因數組成的集合
B 為所有 15 的正因數組成的集合
求 (1) A ∩ B (2) A ⋃ B (3) A - B (4) B - A
{1}, {1, 2, 3, 4, 5, 8, 15}, {2, 4, 8}, {3, 5, 15}
基本計數原理
其他原理
加法原理
其他原理
乘法原理
其他原理
取捨原理
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By sbincer32
