Equations différentielles 1
Solutions
Déterminer l’ensemble des solutions définies sur R et à valeurs dans R des équations suivantes :
3y'-y=7x^2+x
3y'-y=7x^2+x
Solution particulière \(y_p\) de la forme: \(x \mapsto P(x)\) où \( P\in\mathbb{R}[X] \)
3P'-P=7X^2+X
donc \(P \in \mathbb{R}_2[X] \) , \( P=aX^2+bX+c\)
P=aX^2+bX+c\\
P'=2aX+b \\
3P'=6aX+3b \\
\text{donc } 6aX+3b -aX^2-bX-c=7X^2+X\\
\Leftrightarrow -aX^2+(6a-b)X+(3b-c)=7X^2+X\\
Identification:
3y'-y=7x^2+x
Solution particulière \(y_p\) de la forme: \(x \mapsto P(x)\) où \( P\in\mathbb{R}[X] \)
-aX^2+(6a-b)X+(3b-c)=7X^2+X\\
Identification:
\left\{\begin{aligned}
-a & =&7 \\
6a-b & =& 1 \\
3b-c & =& 0\\
\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned}
a & =& -7 \\
b & =& -43 \\
c & =& -129\\
\end{aligned}\right.
y_p(x)=-7x^2-43x-129
\left\{\begin{aligned}
y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\
x & \mapsto \lambda e^{\frac{1}{3}x}-7x^2-43x-129, \lambda \in \mathbb{R}
\end{aligned}\right\}
L'ensemble des solutions est:
Déterminer l’ensemble des solutions définies sur R et à valeurs dans R des équations suivantes :
y''-7y'+6y=xe^{3x}
Déterminer l’ensemble des solutions définies sur R et à valeurs dans R des équations suivantes :
y''-7y'+6y=xe^{3x}
Solution particulière \(y_p\) de la forme: \(x \mapsto P(x) e^{3x}\) où \( P\in\mathbb{R}[X] \)
y_p(x)=\dfrac{1-6x}{36}e^{3x}
y''-7y'+6y=xe^{3x}
y_p(x)=\dfrac{1-6x}{36}e^{3x}
Equation caractéristique : \( x^2-7x+6=0\)
Ses solutions sont : \( r_1=1 \) et \( r_2=6 \)
\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\
x & \mapsto \lambda e^x+\mu e^{6x} +\dfrac{1-6x}{36}e^{3x},
(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2
\end{aligned}\right\}
Déterminer l’ensemble des solutions définies sur R et à valeurs dans R des équations suivantes :
y''-2y= \sin(3x)-\cos(3x)
y''-2y= \sin(3x)-\cos(3x)
y_p(x)=\dfrac{1}{11}(\cos(3x)-\sin(3x))
\left\{\begin{aligned}
y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\
x & \mapsto \lambda e^{-x\sqrt{2}} +\mu e^{ x\sqrt{2}} +\dfrac{1}{11}(\cos(3x)-\sin(3x)),
(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\end{aligned}\right\}
Ex 1:
By intermaths.info
Ex 1:
- 9
