Intégration
Text
utiliser
Continuité uniforme
Rappel
La continuité est une propriéte locale pour une fonction
\(f\) est continue sur un intervalle \(I\)
\(\iff\)
\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)
\(\iff\)
\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-x_0\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid \leqslant \varepsilon
\forall x_0 \in I,
\forall x_0 \in I,
\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon
\forall y \in I,
\(\iff\)
\(\eta \) dépend de \(x\) et de \(\varepsilon\)
Continuité uniforme
Nouveau
La continuité uniforme est une propriéte globale pour une fonction
\(\iff\)
\(\eta \) ne dépend que de \(\varepsilon\)
\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon
Continuité uniforme
Exemple :
la fonction carré est continue sur \(\mathbb{R}\)
mais n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)
Remarque :
Il existe des fonctions continues sur un intervalle qui ne sont pas uniformement continue sur cet intervalle
Soit \(f:x \mapsto x^2\)
)
\forall \varepsilon >0, \exists \eta >0, \forall (x,y) \in\mathbb{R}^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon
Objectif :Montrons que :
\(f\) n'est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)
\( \iff \) non (
\exists \varepsilon >0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in\mathbb{R}^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \text{ et } \mid f(x)-f(y)\mid >\varepsilon
\( \iff \)
Soit \(\varepsilon=1\).
\(\forall \eta>0\) .
\text{ on a : } \mid x-y\mid=\frac{\eta}{2} \leqslant \eta \\ \text{ mais } \mid f(x)-f(y)\mid = \mid x^2-y^2\mid
=\frac{\eta}{2} \left(\frac{2}{\eta}+\frac{\eta}{2}\right)
=1+\frac{\eta^2}{4}> \varepsilon
\text{Soit } (x,y)=\left( \dfrac{1}{\eta}, \dfrac{1}{\eta}+\dfrac{\eta}{2} \right)
Continuité uniforme
1.Soit I un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Soit \(x_0 \in I\).
Soit \(f\) une fonction uniformement continue sur \(I\)
Montrons que \(f\) est continue en \(x_0\)
Soit \(\varepsilon >0 \).
\(f\) étant uniformément continue sur \(I\).
\exists \eta >0, \forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant \varepsilon
\exists \eta >0, \forall x \in I, \mid x-x_0\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(x_0)\mid \leqslant \varepsilon
En particulier,
Autrement dit, \(f\) est continue en \(x_0\)
Continuité uniforme
2.Soit I un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Soit \(x_0 \in I\).
Soit \(f\) une fonction lipschitzienne sur \(I\)
Montrons que \(f\) est uniformément continue sur \( I\)
Soit \(\varepsilon >0 \).
\(f\) étant lipschitzienne sur \(I\)
\exists k \geqslant 0, \forall (x,y) \in I^2, \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant k \mid x-y\mid
Autrement dit, \(f\) est uniformément continue sur \( I\)
\text{ Soit } \eta =\dfrac{\varepsilon}{k+1}>0 \text{; ainsi } k\eta =\dfrac{k\varepsilon}{k+1}<\varepsilon
\forall (x,y) \in I^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid \leqslant k \mid x-y\mid \leqslant k \eta \leqslant \varepsilon
Continuité uniforme
Soit I =[a,b] un intervalle fermé borné de \(\mathbb{R}\).
Soit \(f\) une fonction continue sur [a,b]
Montrons que \(f\) est uniformément continue sur [a,b]
Raisonnement par l'absurde
Supposons \(f\) n'est pas uniformément continue sur [a,b]
\exists \varepsilon >0, \forall \eta >0, \exists (x,y) \in[a,b]^2, \mid x-y\mid \leqslant \eta \text{ et } \mid f(x)-f(y)\mid >\varepsilon
\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
En particulier :
Continuité uniforme
D'après le théorème de Bolzano -Weierstrass,
on peut extraire simultanément(*)
deux suites convergentes dans [a,b]
\((x_{\phi(n)})_n\)et \((y_{\phi(n)})_n\)
\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
\text{Soit } \ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}
\text{Soit } \ell_y=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}
Continuité uniforme
\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
\ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}
\ell_y=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}
\forall n\in \mathbb{N^*}, \mid x_{\phi(n)}-y_{\phi(n)} \mid \leqslant \frac{1}{\phi(n)} \leqslant \frac{1}{n}
On fait \(n\) tendre vers \(+\infty \) :
0 \leqslant \mid \ell_x -\ell_y\mid \leqslant 0
\text{ donc } \ell_x=\ell_y
Continuité uniforme
\exists \varepsilon >0, \forall n\in \mathbb{N^*}, \exists (x_n,y_n) \in [a,b]^2, \mid x_n-y_n \mid \leqslant \frac{1}{n} \text{ et } \mid f(x_n)-f(y_n)\mid >\varepsilon
\ell_x=\lim\limits_{n} x_{\phi(n)}=\lim\limits_{n} y_{\phi(n)}= \ell_y
\(f\) étant continue sur \( I \):
0 \geqslant \varepsilon
f(\ell_x)=\lim\limits_{n} f(x_{\phi(n)})=\lim\limits_{n} f(y_{\phi(n)})= f(\ell_y)
\forall n\in \mathbb{N^*}, \mid f(x_{\phi(n)})-f(y_{\phi(n)}) \mid >\varepsilon
On fait \(n\) tendre vers \(+\infty \) :
\mid f(\ell_x)-f(\ell_y) \mid \geqslant \varepsilon
Contradiction !!!!
Continuité uniforme
Intégrale d'une fonction en escalier
Cas particulier
Intégrale d'une fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
Notation avec les fonctions indicatrices
f(x)=\left\{\begin{aligned}
\sum_{i=0}^{n-1} c_i \mathbb{1}_{]x_i,x_{i+1}[} (x)& \textit{ si } x\in [a,b]\setminus\{x_i\}_{ 0 \leqslant i \leqslant n} \\
f(x_i) & \textit{ si } x\in \{x_i\}_{ 0 \leqslant i \leqslant n}
\end{aligned}\right.
Exemple connu de fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
[a,b]=[-5,1]
\(\sigma_f=\{ -5;-4,-1;1\}\)
Intégrale d'une fonction en escalier
[a,b]=[-5,1]
\(\sigma_f=\{ -5;-4;-3;-1;0;1\}\)
Text
Ajout
Intégrale d'une fonction en escalier
[a,b]=[-5,1]
\(\sigma_f=\{ -5;-4,-1;1\}\)
\(\sigma_g=\{ -5;-2;1\}\)
\sigma_f\cup\sigma_g=\{ -5;-4;-2;-1;1\}
Intégrale d'une fonction en escalier
\text{Car constantes par morceaux au regard de la subdivision}\\
\sigma_f\cup\sigma_g
Intégrale d'une fonction en escalier
\text{Car constantes }\\
\text{par morceaux }\\
\text {au regard de la subdivision}\\
\sigma_f\cup\sigma_g
Intégrale d'une fonction en escalier
Soit \(\sigma_1=\{x_i\}_{0\leqslant i \leqslant n}\)
Indépendance de la subdivison
Soit \(\sigma_2=\{x'_i\}_{0\leqslant i \leqslant n}\)
Deux subdivisons adaptées de \(f\)
\text{On pose } I_{\sigma_1}=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
\text{ et } I_{\sigma_2}=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x'_{i+1}-x'_i)
\text{ montrons que : } I_{\sigma_1}=I_{\sigma_2}
Intégrale d'une fonction en escalier
Il existe \(i_0 \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket \) tel que : \( x_{i_0} < y < x_{i_0+1}\)
Soit \( y \in [a,b]\) tel que \( y\notin \sigma_1\)
Soit \(\tilde{\sigma}=\sigma_1\cup \{y\}\)
\(x_0\)
\(x_n\)
\(x_{i_0+1}\)
\(x_{i_0}\)
\(y\)
\(x_{1}\)
Intégrale d'une fonction en escalier
- 1er bilan: \( I_{\sigma_1} \) reste inchangé si on lui ajoute un élément supplémentaire .
De proche en proche, on montre par ajout successif que \( I_{\sigma_1} =I_{\sigma_1 \cup \sigma_2} \)
\(x_0\)
\(x_n\)
\(x_{i_0+1}\)
\(x_{i_0}\)
\(y\)
\(x_{1}\)
\text{On pose } I_{\tilde{\sigma}}=\sum_{i=0}^{i_0-1} y_i(x_{i+1}-x_i)+y_{i_0}(y-x_{i_0})+y_{i_0}(x_{i_0+1}-y)+\sum_{i=i_0+1}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
=\sum_{i=0}^{i_0-1} y_i(x_{i+1}-x_i)+y_{i_0}(x_{i_0+1}-x_{i_0})+\sum_{i=i_0+1}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
=\sum_{i=0}^{n-1} y_i(x_{i+1}-x_i)
= I_{\sigma_1}
- 2ème bilan: De façon analogue , on montre que \( I_{\sigma_2} =I_{\sigma_2 \cup \sigma_1} \)
Conclusion :
on montre que \( I_{\sigma_1} =I_{\sigma_2} \)
Intégrale d'une fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
1. On utilise \(\sigma =\sigma_f\cup \sigma_g =\{a_i\}_{0\leqslant i \leqslant n-1}\) une subdivision adaptée à \(f\) et \(g\)
2. On utilise l'inégalité triangulaire discrète :
\left \vert \sum_{i=0}^{n-1} z_i \right \vert \leqslant
\sum_{i=0}^{n-1} \mid z_i \mid
3. On utilise la relation :
\sum_{i=0}^{m} z_i + \sum_{i=m+1}^{n} z_i
=
\sum_{i=0}^{n} z_i
4. On utilise la relation 1.
Intégrale d'une fonction en escalier
- Car c'est une somme de termes positifs
- On applique le 1. à la fonction positive \(x\mapsto g(x)-f(x)\) et on utilise la linéarité de l'intégrale
Fonction continue par morceaux
Fonction continue par morceaux
La fonction
x\mapsto \left\{\begin{aligned}
\dfrac{1}{x}&\textit{ si } x\neq 0 \\
0 & \textit{ si } x =0
\end{aligned}\right.
est-elle continue par morceaux ?
Fonction continue par morceaux
Fonction continue par morceaux
Fonction continue par morceaux
Fonction continue par morceaux
INTEGRATION
By intermaths.info
