Equations différentielles linéaires
à coefficients constants d'ordre 1 et 2
Exercice 1 :(E1)
Déterminer l'ensemble des solutions définies sur $$\mathbb{R}$$ à valeurs dans $$\mathbb{R}$$ de : \[\begin{aligned} 2y'+7y=0\\ \end{aligned} \]
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C'est une équation homogène de la forme $$ay'+by=0$$ avec $$a=2$$ et $$b=7$$
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On en déduit que l'ensemble des solutions de (E1) est :
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$$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-\frac{7}{2} x},~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$$
Exercice 1 :(E2)
Déterminer l'ensemble des solutions définies sur $$\mathbb{R}$$ à valeurs dans $$\mathbb{R}$$ de : $$$$y'=3y+(3x^2+1)e^{2x}$$$$
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(E2) est équivalente à : $$y'-3y=(3x^2+1)e^{2x}$$
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Recherche d'une solution particulière $$y_p:x \mapsto(Ax^2+Bx+C)e^{2x}$$.
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Avec (E2) On trouve:$$A=-3$$,$$B=-6$$ et $$C=-7$$
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L'ensemble des solution est:
$$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{3x} -(3x^2+6x+7)e^{2x},~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$$
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(E2) est équivalente à : $$y'+2y=\sin(3x)$$
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Recherche d'une solution particulière $$y_p:x \mapsto A\cos(3x)+B\sin(3x)$$.
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Avec (E2) On trouve:$$A=-\dfrac{3}{13}$$ et $$B=\dfrac{2}{13}$$
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L'ensemble des solutions est:
$$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-2x} +\dfrac{1}{13}\left(-3\cos(3x)+2\sin(3x)\right),~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$$
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Recherche d'une solution particulière \(y_1\) de :
$$y'+2y=2x$$ de la forme
\( y_1:x\mapsto Ax+B \) -
On trouve:\(A=1\) et \(B=-\dfrac{1}{2}\)
\(y_1:x\mapsto x-\dfrac{1}{2}\)
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Recherche d'une solution particulière $$y_2$$ de : $$$$y'+2y=e^{-2x}$$$$ de la forme $$y_2:x\mapsto P(x)e^{-2x}$$ où $$P\in\mathbb[X]$$.
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On trouve:$$P=X$$
$$y_2:x\mapsto xe^{-2x}$$
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Par superposition (E4) possède une solution particulière
\(y_p=y_1+y_2\)
$$y_p:x\mapsto x-\dfrac{1}{2}+ xe^{-2x}$$. -
L'ensemble des solutions est:
$$\left\{\begin{aligned} y: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \lambda e^{-2x} + x-\dfrac{1}{2}+ xe^{-2x} ,~~~~\lambda \in \mathbb{R} \end{aligned}\right\}$$
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