Décomposition en éléments simples de Fractions rationnelles
\mathbb{K}(X)
\mathbb{K} \text{=} \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}
10/04/2025
\mathbb{K}(X)= \left\lbrace \dfrac{P}{Q} , (P,Q)\in \mathbb{K}[X]^2 , Q\neq 0 \right\rbrace
\(\mathbb{K}(X) \) désigne l'ensemble des fractions rationnelles
1.1
Exemples :
\( F=\dfrac{X^-4X+3X^2+X1}{5X^3-1} \in \mathbb{R}(X) \)
\( F=\dfrac{1+7i}{2(X+1)(X-i)(X^2+1)} \in \mathbb{C}(X) \)
\text{Soit} (A,B)\in \mathbb{K}[X]^2 , B\neq 0
Division euclidienne dans \( \mathbb{K} [X] \) (vu en algèbre)
2.1
\exists ! (Q,R)\in \mathbb{K}[X]^2 , A=BQ+R ,\deg(R) < \deg(B)
\(A\)
\(B\)
\(Q\)
\(R\)
\(BQ\)
dividende
diviseur
quotient
reste
Théorème:
X^2+1
X^2-1
\( X^4 -2X+3\)
\( X^4+X^2\)
\( -X^2 -2X+3\)
\( -X^2 -1\)
\( -2X +4\)
X^4-2X+3=(X^2+1)(X^2-1)+(-2X+4)
Effectuer la division euclidienne de \(X^4-2X+3\) par \(X^2+1\)
Entrainez -vous ici
Exemple :
Exercice :
Fraction rationnelle irréductible
3.1
\text{Soit } F=\dfrac{A}{B} \in \mathbb{K}(X)
Définition:
\text{Rendre irréductible} \dfrac{A}{B}= \dfrac{X^2+2X-3}{X^4-2X^2+1}
Dans ce chapitre, on rendra une fraction irréductible à partir de décomposition du dénominateur en produit de facteurs irréductibles
PGCD(A,B)\overset{notation}{=}A\wedge B =1
\( F\) est irreductible lorsque :
On dit que \( A\) et \( B\) sont premiers entre eux
Méthode:
Exemple :
X^4-2X^2+1
=(X^2-1)^2
=\left( (X-1) (X+1)\right)^2
=(X-1)^2 (X+1)^2
\( B(1) =0 \) et \( A(1) =0 \)
\text{On a : } \dfrac{A}{B}= \dfrac{(X-1)(X+3)}{(X-1)^2 (X+1)^2}= \dfrac{X+3}{=(X-1) (X+1)^2}
\text{Soit } F \in \mathbb{K}(X)
Partie entière d'une fraction rationnelle
4.1
\exists ! (E,N)\in \mathbb{K}[X]^2 , F=E+ \dfrac{N}{D} ,\deg(N) < \deg(D)
Théorème:
\( E\) est la partie entière de \( F\)
\( \dfrac{N}{D}\) est la partie fractionnaire de \( F\)
Soit \(F=\dfrac{A}{D}\in \mathbb{K}[X]\) .
On effectue la division euclidienne de A par D:
\(A=DE+N \)
\(E\) est le quotient et \(N \) est le reste. \( \deg(N) <\deg(B) \)
Ainsi: \(F=\dfrac{A}{D}=E+\dfrac{N}{D} \) .
Preuve :
Méthode :
Déterminer la partie entière de \(\dfrac{A}{D} \)
C' est déterminer le quotient de la division euclienne de \(A \) par \(D \).
Preuve :
D=\prod_{k=1}^n P_k^{m_k} = P_1^{m_1} \times P_2^{m_2} \times \cdots \times P_n^{m_n}
Soit \(F\) une fraction rationnelle irréductible.
\(F =\dfrac{N}{D}\)
telle que \(D\) admet pour décomposition
en facteurs irréductibles dans \(\mathbb{K}[X]\)
\(F\) s'écrit de façon unique sous la forme:
F = E + \Big( \frac{Q_{1,1}}{P_1} + \frac{Q_{1,2}}{P^2_1}+ \cdots + \frac{Q_{1,m_1}}{P^{m_1}_1} \Big) + \cdots + \Big( \frac{Q_{n,1}}{P_n} + \frac{Q_{n,2}}{P^2_n}+ \cdots + \frac{Q_{n,m_n}}{P^{m_n}_n} \Big)
5.1
Théorème:
Décomposition d'une fraction rationnelle
en éléments simples dans \(\mathbb{K}(X)\)
avec \( \deg(Q_{i,j})<\deg(P_i)\)
Text
Eléments simples
5.2
Preuve de Fréderic MILLET avec \(\mathbb{K}= \mathbb{C}\)
Décomposition d'une fraction rationnelle
en éléments simples dans \(\mathbb{K}(X)\)
Le dénominateur est de la forme :
6.1
Les éléments simples de \(\dfrac{N}{D}\)
avec \(\deg(N)<\deg(D)\)
Cas où \(\mathbb{K} \)= \(\mathbb{C} \)
D=a\prod_{k=1}^n (X-\alpha_i) ^{m_k} = a (X-\alpha_1)^{m_1} \cdots (X-\alpha_n)^{m_n}
\dfrac{N}{D}=
les \( (\lambda_{i,j})\) sont dans \(\mathbb{C} \)
\dfrac{\lambda_{1,m_1}}{(X-\alpha_{1})^{m_1} } +\dfrac{\lambda_{1,m_1-1}}{(X-\alpha_{1})^{m_1-1} }+ \cdots+\dfrac{\lambda_{1,1}}{(X-\alpha_{1})^{1} }
+ \qquad\cdots
+ \dfrac{\lambda_{n,m_n}}{(X-\alpha_{n})^{m_n} } +\dfrac{\lambda_{n,m_n-1}}{(X-\alpha_{n})^{m_n-1} }+ \cdots+\dfrac{\lambda_{n,1}}{(X-\alpha_{n})^{1} }
Le dénominateur est de la forme :
6.2
Les éléments simples de \(\dfrac{N}{D}\)
avec \(\deg(N)<\deg(D)\)
Cas où \(\mathbb{K} \)= \(\mathbb{C} \)
D=a\prod_{k=1}^n (X-\alpha_i) ^{m_k} = a (X-\alpha_1)^{m_1} \cdots (X-\alpha_n)^{m_n}
\dfrac{N}{D}=
\dfrac{\lambda_{1,m_1}}{(X-\alpha_{1})^{m_1} } +\dfrac{\lambda_{1,m_1-1}}{(X-\alpha_{1})^{m_1-1} }+ \cdots+\dfrac{\lambda_{1,1}}{(X-\alpha_{1})^{1} }
+G_1
\text{où } G_1\in \mathbb{C}(X)
\text{et } G_1(\alpha_1) \text{est défini}
\dfrac{N}{D}=
\dfrac{\lambda_{i,m_i}}{(X-\alpha_{i})^{m_i} } +\dfrac{\lambda_{i,m_i-1}}{(X-\alpha_{i})^{m_1-1} }+ \cdots+\dfrac{\lambda_{i,1}}{(X-\alpha_{i})^{1} }
+G_i
!!! On a le même résultat pour les autres pôles !!!
\text{où } G_i\in \mathbb{C}(X)
\text{et } G_i(\alpha_i) \text{est défini}
Le dénominateur étant de la forme :
6.3
Les éléments simples de \(\dfrac{N}{D}\)
avec \(\deg(N)<\deg(D)\)
Cas où \(\mathbb{K} \)= \(\mathbb{C} \)
D=a\prod_{k=1}^n (X-\alpha_i) ^{m_k} = a (X-\alpha_1)^{m_1} \cdots (X-\alpha_n)^{m_n}
Pour tout \(i \in \llbracket 1 ,n\rrbracket\), \( \alpha_i \) étant un pôle de multiplicité \(m_i\)
Il y a \(m_i\) éléments simples associés à \( \alpha_i\) :
\dfrac{\lambda_{m_i}}{(X-\alpha_{i})^{m_i} } ,\dfrac{\lambda_{m_i-1}}{(X-\alpha_{i})^{m_i-1} } \cdots\dfrac{\lambda_{1}}{(X-\alpha_{i})^{1} }
Reste à TROUVER les \( (\lambda_k)\)
Méthode 1
Calcul des \( \lambda_k\)
- Multiplication par \( (X-\alpha_i)^{m_i} \)
- Affectation \(X=\alpha_i \)
- Réduction de la multiplicité *
6.4
6.5
Exemple :
\text{Décomposer } F= \dfrac{X^8+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} \text{en éléments simples dans } \mathbb{C}[X]
X^8+2
X^6-3X^4+2X^3
-2X^5+9X^4-6X^3+2
X^2+3
X^8-3X^6+2X^5
3X^6-2X^5+2
3X^6-9X^4+6X^3
F= \dfrac{X^8+2}{X^6-3X^4+2X^3}=X^2+3+\dfrac{-2X^5+9X^4-X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)}
Etape 1 : Rechercher de E la partie entière
6.6
\text{Eléments simples de } F_1=\dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} \text{dans } \mathbb{C}[X]
Etape 2 : Recherche des élements simples
\text{Les pôles sont: }\\
0 \text{ de multiplicité } 3 \\
1 \text{ de multiplicité } 2 \\
-2 \text{ de multiplicité } 1
\text{Eléments simples associés au pôle -2 :}
- Multiplication par \(X+2\) et affectation \(X=-2\) :
(X+2)F_1= \dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X-1)^2}=\lambda_1 +(X+2)G_1
F_1=\dfrac{\lambda_{1}}{(X+2)^{1} } +G_1 \qquad\text{ où } G(-2) \text{ est défini}
On a:
\lambda_1 =\dfrac{-43}{12}
puis :
\dfrac{-2(-2)^5+9(-2)^4-6(-2)^3+2}{(-2)^3((-2)-1)^2}=\lambda_1
6.7
\text{Eléments simples de } F_1=\dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} \text{dans } \mathbb{C}[X]
Etape 2 : Recherche des élements simples
\text{Eléments simples associés au pôle 1 :}
- Multiplication par \((X-1)^2\) et affectation \(X=1\) :
(X-1)^2F_1= \dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X+2)}=\lambda_2 +\lambda_3(X-1) +(X-1)^2 G_2
F_1=\dfrac{\lambda_{2}}{(X-1)^{2} } +\dfrac{\lambda_{3}}{X-1} +G_2 \qquad\text{ où } G_2(1) \text{ est défini}
On a:
puis :
\lambda_2=1
F_1 -\dfrac{1}{(X-1)^{2} } =\dfrac{\lambda_{3}}{X-1} +G_2
- Réduction de la multiplicité:
\iff -\dfrac{-2X^5+8X^4-8X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} = -\dfrac{-2X^4+6X^3-2X^2-2X-2}{X^3(X-1)(X+2)}=\dfrac{\lambda_{3}}{X-1} +G_2
\lambda_3 =-\dfrac{2}{3}
6.8
\text{Eléments simples de } F_1=\dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} \text{dans } \mathbb{C}[X]
Etape 2 : Recherche des élements simples
\text{Eléments simples associés au pôle 0 :}
\lambda_4=1
Il faut répéter :
F_1=\dfrac{\lambda_{4}}{X^{3} } +\dfrac{\lambda_{5}}{X^2} +\dfrac{\lambda_{6}}{X}+G_3 \qquad\text{ où } G_3(0) \text{ est défini}
- 3 Multiplications- affectations -2 Réduction de la multiplicité :
- Multiplication par \(X^3\) et affectation \(X=0\) :
- Réduction de la multiplicité :
\dfrac{-2X^4+9X^3-7X^2+3}{X^2(X-1)^2(X+2)} = \dfrac{\lambda_{5}}{X^2} +\dfrac{\lambda_{6}}{X}+G_2 \qquad\text{ où } G_2(0) \text{ est défini}
- Multiplication par \(X^2\) et affectation \(X=0\) :
\lambda_5=\dfrac{3}{2}
- Réduction de la multiplicité :
\dfrac{-2X^3+\frac{15}{2}X^2-7X+\frac{9}{2}} {X(X-1)^2(X+2)} =\dfrac{\lambda_{6}}{X}+G_2 \qquad\text{ où } G_2(0) \text{ est défini}
- Multiplication par \(X\) et affectation \(X=0\) :
\lambda_6=\dfrac{9}{4}
Méthode 2
pour les pôles multiples
- Changement de variable \(Y=X-\alpha\)
- division suivant les puissances croissantes
6.9
6.10
\text{Eléments simples de } F_1=\dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} \text{dans } \mathbb{C}[X]
Etape 2 : Recherche des élements simples
\text{Eléments simples associés au pôle 0 :}
\text{on pose :} Y=X-0 \text{ changement inutile dans ce cas !}
\text{On effectue la division suivant les puissances croissantes de }\\
2-6X^3+9X^4-2X^5 \text{ par }
2-3X+X^3
2-6X^3+9X^4-2X^5
2-3X+X^3
1+\dfrac{3}{2}X+\dfrac{9}{4}X^2
2-3X+X^3
3X-7X^3+9X^4-2X^5
3X-\frac{9}{2}X^2+\frac{3}{2}X^4
\frac{9}{2}X^2+\cdots
6.11
\text{Eléments simples de } F_1=\dfrac{-2X^5+9X^4-6X^3+2}{X^3(X-1)^2(X+2)} \text{dans } \mathbb{C}[X]
Etape 2 : Recherche des élements simples
\text{Eléments simples associés au pôle 0 :}
1+\dfrac{3}{2}X+\dfrac{9}{4}X^2
A partir du quotient
F_1=\dfrac{1}{X^{3} } +\dfrac{3}{2X^2} +\dfrac{9}{4X}+G_3 \qquad\text{ où } G_3(0) \text{ est défini}
Le dénominateur est de la forme :
7.1
Les éléments simples de \(\dfrac{N}{D}\)
avec \(\deg(N)<\deg(D)\)
Cas où \(\mathbb{K} \)= \(\mathbb{R} \)
D= a (X-\alpha_1)^{m_1} \cdots (X-\alpha_n)^{m_n} \prod_{i=1}^m (X+p_iX+q_i) ^{l_i}
\text{A chaque facteur } (X^2+p_iX+q_i)^{l_i} \\ \text{est associé } l_i \text{ éléments simples de 2ème espèce}
\dfrac{a_{i,n}X+b_{i,n}} {(X^2+p_iX+q_i)^{l_i}}+\cdots+\dfrac{a_{i,1}X+b_{i,1} }{(X^2+p_iX+q_i)^1}
Tous les coefficients sont réels
PREMIERS
EXEMPLES
F_1=\dfrac{aX+b}{cX+d}
Exemple 1
F_1=\dfrac{a}{c} +\dfrac{\delta}{c(cx+d)}
\text{où } \delta=bc-ad
F_1=\dfrac{a}{c} +\dfrac{\delta}{c(cx+d)}
\text{où } \delta=bc-ad
F_1=\dfrac{ax+b}{cx+d}
F_1=\dfrac{a}{c} +\dfrac{b-\frac{ad}{c}}{cx+d}
ax+b
cx+d
\dfrac{a}{c}
ax+\frac{ad}{c}
b-\frac{ad}{c}
F_2=\dfrac{1}{X^2-X}
Exemple 2
F_2=\dfrac{1}{X^2-X}
F_2=\dfrac{1}{X(X-1)}
\(F_2\) irréductible et partie entière nulle
F_2=\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X-1}
F_2=\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X-1}
\Leftrightarrow XF_2 =a+\dfrac{bX}{X-1}\\
Pour \(X=0\), on a: a =- 1
\Leftrightarrow \dfrac{1}{X-1} =a+\dfrac{bX}{X-1}\\
F_2=\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X-1}
\Leftrightarrow (X-1)F_2 =\dfrac{a(X-1)}{X}+b\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{X} =\dfrac{a(X-1)}{X}+b\\
Pour X=1 , on a: b=1
=-\dfrac{1}{X}+\dfrac{1}{X-1}
F_3=\dfrac{X^2+X+1}{X^4-5X^2+4}
Exemple 3
F_3=\dfrac{X^2+X+1}{X^4-5X^2+4}
=\dfrac{X^2+X+1}{(X-2)(X+2)(X-1)(X+1)}
F_3=\dfrac{a}{X-2}+\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{c}{X-1}+\dfrac{d}{X+1}
- Multiplication par et affectation :
X-1
X=1
c=-\dfrac{1}{2}
- Multiplication par et affectation :
X-2
X=2
a=\dfrac{7}{12}
- Multiplication par et affectation :
- Multiplication par et affectation :
X+1
X=-1
d=-\dfrac{1}{6}
X+2
X=-2
b=-\dfrac{1}{4}
F_4=\dfrac{X+1}{(X-1)^2X^3}=\dfrac{2}{(X-1)^2}-\dfrac{5}{X-1}+\dfrac{1}{X^3}+\dfrac{3}{X^2}+\dfrac{5}{X}
F_3=\dfrac{a}{X-2}+\dfrac{b}{X+2}+\dfrac{c}{X-1}+\dfrac{d}{X+1}
F_3=\dfrac{7}{12(X-2)}-\dfrac{1}{4(X+2)}-\dfrac{1}{2(X-1)}-\dfrac{1}{6(X+1)}
F_3=\dfrac{X^2+X+1}{X^4-5X^2+4}
F_4=\dfrac{X+1}{(X-1)^2X^3}
Exemple 4
F_4=\dfrac{X+1}{(X-1)^2X^3}=\dfrac{a}{(X-1)^2}+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{X^3}+\dfrac{d}{X^2}+\dfrac{e}{X}
- Multiplication par et affectation :
a=\dfrac{X+1}{X^3}=2
X=1
(X-1)^2
- Multiplication par et affectation :
c=\dfrac{X+1}{(X-1)^2}=1
X=0
X^3
F_4-\dfrac{a}{(X-1)^2}-\dfrac{c}{X^3} = \dfrac{b}{X-1}+\dfrac{d}{X^2}+\dfrac{e}{X}
\Leftrightarrow F_4-\dfrac{2}{(X-1)^2}-\dfrac{1}{X^3} =\dfrac{-2X-3}{X^2(X-1)}= \dfrac{b}{X-1}+\dfrac{d}{X^2}+\dfrac{e}{X}
... on recommence
\dfrac{-2X-3}{X^2(X-1)}= \dfrac{b}{X-1}+\dfrac{d}{X^2}+\dfrac{e}{X}
- Multiplication par et affectation :
d=\dfrac{-2X-3}{(X-1)}=3
X=0
X^2
- Multiplication par et affectation :
X-1
X=1
b=\dfrac{-2X-3}{X^2}=-5
... dernière inconnue e ?
- Affectation dans (*) d'une valeur qui ne soit pas un pôle
(*)
X=-1
\dfrac{1}{2}=-\dfrac{b}{2}+d-e
e=5
DES_10042025
By intermaths.info
