ECG1
- stage du 28 08 2025 -
Vacances apprenantes ECG1
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Capacité 1 :
(a) Simplifier l'expression algébrique suivante:
$$A=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{10-3\sqrt{11}}+\dfrac{1}{10+3\sqrt{11}}}}$$
$$=\dfrac{1(10+3\sqrt{11})}{(10-3\sqrt{11})(10+3\sqrt{11})}+\dfrac{1(10-3\sqrt{11})}{(10+3\sqrt{11})(10-3\sqrt{11})}$$
( Réduction au même dénominateur)
Réponse :
On calcule d'abord :
$$=\dfrac{20}{100-99} =20$$
$$\dfrac{1}{10-3\sqrt{11}}+\dfrac{1}{10+3\sqrt{11}}$$
( identité remarquable)
(a-b)(a+b)=a²-b²
\text{Donc, A}=
\sqrt{\dfrac{1}{20}} =
\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{20}} =
\frac{1}{2\sqrt{5}} =
\frac{\sqrt{5}}{10}
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Capacité 1 :
(b) Développer et réduire l'expression algébrique suivante: $$(2x - 3)^2 - (x + 1)(x - 1)$$
Réponse :
\begin{align*}
&(2x - 3)^2 - (x + 1)(x - 1)\\
=&4x^2-12x+9 - (x^2 - 1)\\
=&4x^2-12x+9 - x^2 + 1\\
=&3x^2-12x+10\\
\end{align*}
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Capacité 2 :
(a) Résoudre dans \(\R\)
l'équation :
Réponse :
\begin{align*}
&\frac{x^2-2x}{x+1}=\frac{3}{x+1}\\
\iff&\frac{x^2-2x-3}{x+1}=0\\
\iff& x^2-2x-3 =0 \text{ et } x\neq -1\\
\iff& x \text{ est une racine réelle du trinôme } x^2-2x-3 \text{ et } x\neq -1\\
\end{align*}
\frac{x^2-2x}{x+1}=\frac{3}{x+1}
Quelles sont les racines \(x_1\) et \(x_2\) du trinôme \(x^2-2x-3\) ?
On trouve -1 et 3 (méthode au choix)
Conclusion : l'ensemble des solutions est le singleton \( \lbrace 3\rbrace \)
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Capacité 2 :
(b) Résoudre dans \(\R\)
l'équation :
Réponse :
\begin{align*}
&\frac{2x+1}{x-3}=1\\
\iff& 2x+1=x-3 \text{ et } x\neq 3\\
\iff& x=-4 \text{ et } x\neq 3\\
\end{align*}
\frac{2x+1}{x-3}=1
Conclusion : l'ensemble des solutions est le singleton \( \lbrace -4\rbrace \)
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Capacité 2 :
(b) Résoudre dans \(\R\)
l'équation :
Réponse :
\begin{align*}
&\frac{2x+1}{x-3}=1\\
\iff& 2x+1=x-3 \text{ et } x\neq 3\\
\iff& x=-4 \text{ et } x\neq 3\\
\end{align*}
\frac{2x+1}{x-3}=1
Conclusion : l'ensemble des solutions est le singleton \( \lbrace -4\rbrace \)
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Capacité 2 :
(c) Résoudre dans \(\R\)
l'équation :
Réponse :
\begin{align*}
&(2x+1)(x-3)=0\\
\iff& 2x+1=0 \text{ ou } x-3=0\\
\iff& x=-\frac{1}{2} \text{ ou } x= 3\\
\end{align*}
(2x+1)(x-3)=0
Conclusion : l'ensemble des solutions est \( \lbrace -\frac{1}{2};3\rbrace \)
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Capacité 2 :
(d) Résoudre dans \(\R\)
l'équation :
Réponse :
\begin{align*}
&(2x^2+1)(x^2-3)=0\\
\iff& 2x^2=1=0 \text{ ou } x^2-3=0\\
\iff& x^2=-\frac{1}{2} \text{ ou } x^2= 3\\
\iff& x^2= 3\\
\iff& x=-\sqrt{3} \text{ ou } x=x=\sqrt{3} \\
\end{align*}
(2x^2+1)(x^2-3)=0
Conclusion : l'ensemble des solutions est \( \lbrace -\sqrt{3};\sqrt{3} \rbrace \)
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Capacité 2 :
(e) Résoudre dans \(\R\)
l'équation :
Réponse :
\begin{align*}
&(2x+1)(x-3)=1\\
\iff& 2x^2-5x-4=0\\
\end{align*}
(2x+1)(x-3)=1
Conclusion : l'ensemble des solutions est
\left\lbrace \frac{5-\sqrt{57}}{4}; \frac{5+\sqrt{57}}{4} \right\rbrace
Le discriminant du trinôme est : 57
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Capacité 3 :
(a) Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur
\(\mathbb{R}\) telle que:
\( f(1)=3\)
et \(f'(1)=-2\)
Soit \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\) dans une repère du plan.
Déterminer une equation cartésienne de la tangente à \(\mathcal{C}_f\)au point d'abscisse 1.
Réponse :
\text{ L'équation cartésienne réduite de ta tangente au point d'abscisse } a=1 \text{ est :}\\
\begin{align*}
&y=f'(a)(x-a)+f(a)\\
\iff& y=f'(1)(x-1)+f(1)\\
\iff& y= -2(x-1)+3\\
\iff& y= -2x+5\\
\end{align*}
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Capacité 3 :
(b) Soit \(g\) une fonction définie par :
\( g(x)=(x+1)e^{3x^2+1}\)
Déterminer l'ensemble de définition de \(g\) et la fonction dérivée de \(g\).
Réponse :
- L' ensemble de définition de \(g\) est \(\R\)
\text{Pour tout réel } x,\\
g(x)= u(x) v(x) \\
\text{où } u(x)=x+1 \text{ et } v(x)=e^{3x^2+1}\\
u \text{ et } v \text{ sont dérivables sur } \R \\
\text{Avec, pour tout réel } x,\\
u'(x)= 1 \\
v'(x)= 6x e^{3x^2+1} \\
\text{ Donc g est dérivable sur } \R\\
\text{Et pour tout réel } x,\\
g'(x)= u'(x) v(x) +u(x) v'(x) \\
g'(x)= 1 e^{3x^2+1} +(x+1) 6x e^{3x^2+1} \\
g'(x)= e^{3x^2+1} (6x^2+6x+1)\\
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Capacité 3 :
(c) Soit \(h\) la fonction définie par $$h(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(1-x)}$$
Déterminer l'ensemble de définition de \(h\) et la fonction dérivée de \(h\) .
Réponse :
- Soit \(x \in\R \) , \(h(x)\) existe si et seulement si:
\begin{align*}
&x+1>0 \text{ et } 1-x>0 \text{ et } 1-x\neq 1\\
\iff &x>-1 \text{ et } 1>x \text{ et } x\neq 0\\
\iff &x \in ]-1;0[\cup ]0;1[
\end{align*}
L' ensemble de définition de \(g\) est ]-1;0[\(\cup\) ]0;1[
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Capacité 3 :
(c) Soit \(h\) la fonction définie par $$h(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(1-x)}$$
Déterminer l'ensemble de définition de \(h\) et la fonction dérivée de \(h\) .
\text{Pour tout réel } x \in ]-1;0[\cup ]0;1[\\
\begin{align*}
h'(x)&= \frac{u'(x) v(x)-u(x) v'(x)}{ v^2(x)} \\
&= \frac{\frac{1}{x+1} \ln(1-x) - \ln(x+1) \frac{1}{x-1} }{\left( \ln(1-x)\right)^2} \\
&= \frac{(x-1) \ln(1-x) - \ln(x+1) (x+1) }{(x^2-1) \left( \ln(1-x)\right)^2} \\
\end{align*}\\
\text{Pour tout réel } x \in ]-1;0[\cup ]0;1[\\
h(x)= \frac{u(x)}{ v(x)} \\
\text{où } u(x)=\ln(x+1) \text{ et } v(x)=\ln(1-x)\\
u \text{ et } v \text{ sont dérivables sur } ]-1;0[\cup ]0;1[ \\
\text{Avec, pour tout réel } x \in ]-1;0[\cup ]0;1[ ,\\
u'(x)= \frac{1}{x+1} \\
v'(x)= \frac{-1}{1-x}=\frac{1}{x-1}
v \text{ ne s'annulant pas sur } ]-1;0[\cup ]0;1[ \\
\text{ On déduit que } h \text{ est dérivable sur } ]-1;0[\cup ]0;1[ \\
\text{ Et que :}\\
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Capacité 4 :
(a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\),
\text{(a) Pour tout entier naturel } n\\
\begin{align*}
&7(7^{n}-3^{n})+4\times3^n\\
=&7^{n+1}-7\times 3^{n}+4\times3^n\\
=&7^{n+1}+(-7+4)\times 3^{n}\\
=&7^{n+1} -3\times 3^{n}\\
=&7^{n+1} -\times 3^{n+1}
\end{align*}
7^{n+1}-3^{n+1}
=7(7^{n}-3^{n})+4\times3^n
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Capacité 4 :
(b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\),
\(7^{n}-3^{n}\) est divisible par 4.
Soit \(\mathscr{P}(n)\) la proposition définie pour tout entier naturel \(n\) par :
" \(7^{n}-3^{n}\) est divisible par 4."
Initialisation:
\(\mathscr{P}(0)\) est vraie car :
\(7^{0}-3^{0}=1-1=0\) est un multiple de 4
Hérédité:
Soit \(n \in\N\). Montrons que :
\mathscr{P}(n) \Rightarrow \mathscr{P}(n+1)
\begin{align*}
\mathscr{P}(n) &\Rightarrow \text{(il existe un nombre entier relatif } k \text{ tel que } 7^n-3^n=4k \text{)}\\
&\Rightarrow 7^{n+1}-3^{n+1}=7(7^n-3^n)+4\times 3^n =7(4k)+4\times 3^n \\\\
&\Rightarrow 7^{n+1}-3^{n+1}= 4(7k+3^n)=4k' , \text{avec } k'=7k+3^n \in\Z\\
&\Rightarrow \mathscr{P}(n+1)
\end{align*}
D'après le (a)
D'après \(\mathscr{P}(n)\)
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Capacité 4 :
(b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\),
\(7^{n}-3^{n}\) est divisible par 4.
Conclusion:
Pour tout \(n \in \N\) ,
\(7^{n}-3^{n}\) est divisible par 4.
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By intermaths.info
