Mekaniikan kertaus (FY04)
FY10 Kertausta abiturienteille
Tasaisen liikkeen kuvaajat
- Liikettä voidaan esittää kuvaajien avulla
- Vaaka-akselilla on aina aika t
- Pystyakselilla on paikka x tai nopeus v
Nouseva tai laskeva suora
Vaakasuora vaaka-akselin ylä- tai alapuolella
(t, x)-kuvaaja
(t, v)-kuvaaja
Keskinopeus
- Nopeus määritetään (t, x)-kuvaajasta käyrän kulmakertoimena
- Keskinopeus lasketaan aina kahden pisteen välillä
- Jos nopeus on tasaista, keskinopeus on sama kuin tasaisen liikkeen nopeus
v_k=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}
Paikka lopussa
Paikka alussa
Aika lopussa
Aika alussa
[v]=\frac{[x]}{[t]}=\frac{\text m}{\text s}
Hetkellinen nopeus
- Hetkellinen nopeus on nopeus jonain tiettynä hetkenä t
- Käyrälle piirretään tangentti yhteen pisteeseen
-
Tangentin kulmakerroin on hetkellinen nopeus
- Hetkellinen nopeus on paikan aikaderivaatta
- Graafinen derivointi (esim. mittausohjelmistolla)
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
Paikan muutos (tangentista)
Ajan muutos (tangentista)
\frac{dx}{dt}
Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kuvaajat
-
Liikettä voidaan esittää kuvaajien avulla
- Vaaka-akselilla on aina aika t
- Pystyakselilla on paikka x, nopeus v tai kiihtyvyys a
Nouseva tai laskeva suora
Vaakasuora vaaka-akselin ylä- tai alapuolella
Ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli
(t, x)-kuvaaja
(t, v)-kuvaaja
(t, a)-kuvaaja
Keskikiihtyvyys
- Kiihtyvyys määritetään (t, v)-kuvaajasta käyrän kulmakertoimena
- Keskikiihtyvyys lasketaan aina kahden pisteen välillä
a_k=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}
[a] = \frac{[v]}{[t]} = \frac{\text m/\text s}{\text s} = \frac{\text m}{\text s^2}
Nopeus lopussa
Nopeus alussa
Aika lopussa
Aika alussa
Hetkellinen kiihtyvyys
- Hetkellinen kiihtyvyys on kiihtyvyys jonain tiettynä hetkenä t
- Käyrälle piirretään tangentti
-
Tangentin kulmakerroin on hetkellinen kiihtyvyys
- Hetkellinen kiihtyvyys on nopeuden derivaatta
- Graafinen derivointi (esim. mittausohjelmistolla)
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
Nopeuden muutos (tangentista)
Ajan muutos (tangentista)
\frac{dv}{dt}
Kiihtyvyyden kuvaaja
- Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kiihtyvyys on vakio
- (t, a)-kuvaaja on vaakasuora
- Jos kiihtyvyys muuttuu, kuvaaja on monimutkaisempi
- Kiihtyvyyden määritelmä:
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\Delta v = a \Delta t
Integraali (pinta-ala) kertoo nyt nopeuden muutoksen
Liikeilmiöiden keskeiset suureyhtälöt
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}(=\frac{s}{t})
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
s=v_0t+\frac{1}{2}at^2
v=v_0+at
v_k=\frac{v_0+v}{2}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
(s=x-x_0)
| Tasainen liike | Tasaisesti kiihtyvä liike |
|---|---|
| Nopeuden määritelmä |
Kiihtyvyyden määritelmä |
| Paikka ja matka |
Paikka ja matka |
|
|
Loppunopeus |
| Keskinopeus |
s = vt
x=x_0+vt
Älä käytä tasaisen liikkeen mallia, jos liike on kiihtyvää!
Newtonin lait (mekaniikan peruslait)
- Jatkavuuden laki (N I)
- Jos kappale ei ole vuorovaikutuksessa toisen kappaleen kanssa, se pysyy levossa tai jatkaa tasaista liikettään suoraviivaisesti
- Dynamiikan peruslaki (N II)
- Kokonaisvoima antaa kappaleelle kiihtyvyyden F = ma
- Voiman ja vastavoiman laki (N III)
- Vuorovaikuttavat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtä suuret, mutta vastakkaisuuntaiset voimat
Erilaisia voimia
- Voima on kappaleen liikemäärän muutosnopeus ja siten vuorovaikutuksen hetkellinen voimakkuus
-
Kappaleeseen voi kohdistua lukuisia voimia
- Voimat voivat kokonaan tai osittain kumota toistensa vaikutuksen
-
Kappaleen liike on mahdollista ennustaa Newtonin II lain avulla tilanteesta riippumatta
- Kappaleeseen vaikuttavien voimien summa täytyy tuntea
Voimakuviot
-
Tunnistetaan kappaleen kokemat vuorovaikutukset
- Jokainen vuorovaikutus tarkoittaa kappaleeseen kohdistuvaa voimaa
-
Voimakuvioon merkitään kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat vektorinuolina
- Vektorien suunnat ovat vuorovaikutusten suuntaiset
- Vektoreiden pituudet kuvaavat voimien suuruuksia oikeissa suhteissa
- Vektorit piirretään voiman vaikutuspisteeseen
- Voimakuvion yhteydessä voimat myös nimetään
- Yksi voimakuvio riittää kuvaamaan tilannetta, jos voimat eivät muutu
Kappaleen liikeyhtälöiden kirjoittaminen
- Piirretään kappaleen voimakuvio ja nimetään voimat.
- Merkitään voimakuvioon käytettävä koordinaatisto ja akseleiden positiiviset suunnat.
- Merkitään voimakuvioon kiihtyvyyden ja nopeuden suunnat (kun ne ovat tehtävän kannalta merkittävässä osassa).
- Kirjoitetaan Newtonin II lain matemaattinen lauseke:
- Kirjoitetaan vektorimuotoinen liikeyhtälö sekä sekä x- että y-suunnassa.
- Kirjoitetaan skalaarimuotoinen liikeyhtälö sekä x- että y-suunnassa.
- Kirjoitetaan muut tarvittavat yhtälöt ja ratkaistaan tuntemattomat suureet.
\Sigma \overline F = m \overline a
\Sigma \overline F = \overline 0
Voiman komponentit
-
Usean erisuuntaisen voiman yhteisvaikutus on kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima
- Kokonaisvoima on voimien vektorisumma eli se koostuu useista eri voimista
-
Mikä tahansa voima voidaan jakaa kahteen keskenään kohtisuoraan komponenttiin
- Voima kannattaa jakaa pinnan suuntaiseen ja pintaa vastaan kohtisuoraan komponenttiin
- Voima F on komponenttien vektorisumma eli
\overline{F}=\overline{F}_x+\overline{F}_y
Kokonaisvoima
- Kun kappaleeseen kohdistuu useita voimia, on määritettävä niiden yhteisvaikutus eli kokonaisvoima
- Kokonaisvoima määräytyy laskemalla voimien vektorisumma
-
Graafisesti vektorisumma määritetään piirtämällä vektorit peräkkäin
- Kun kokonaisvoima on nolla, voimavektorit muodostavat peräkkäin piirrettynä suljetun kuvion
-
Jos kappaleeseen vaikuttavien voimien summa ei ole nolla, se on Newtonin II lain perusteella kiihtyvässä liikkeessä
- Kiihtyvyys osoittaa samaan suuntaan kuin kokonaisvoima
\Sigma \overline{F}
\overline G + \overline N + \overline F_\mu
Kitkavoima
- Mikrotasolla kitka aiheutuu kahden kappaleen molekyylien välisistä vuorovaikutuksista
- Liukukitka on suoraan verrannollinen pintojen väliseen tukivoimaan
- Verrannollisuuskerroin on liukukitkakerroin, joka on pinnoille ominainen vakio
- Lepokitkalle pätee
F_\mu=\mu N
\mu
0 \le F_{\mu 0} \le \mu_0 N
\mu_0 = \text {lepokitkakerroin}
Hydrostaattinen paine ja noste
- Hydrostaattinen paine on nesteen oman painovoiman aiheuttama paine
- Hydrostaattinen paine on suoraan verrannollinen nesteen syvyyteen
- Nesteessä olevaan kappaleeseen kohdistuu joka suunnasta ulkoisen paineen aiheuttama voima
-
Kappaleen yläpinnalla paine on pienempi kuin alapinnalla
- Paine-ero aiheuttaa nosteeksi nimetyn voiman
p_h=\rho gh
Arkhimedeen laki (nosteen laki)
-
Nesteessä (tai kaasussa) kappaleeseen kohdistuu noste, joka on kappaleen syrjäyttämän nesteen (kaasun) painon suuruinen
- Tämän verran voimaa tarvitaan painamaan kappale nesteeseen ja syrjäyttämään kyseinen nestemäärä
N=\rho gV
\rho = \text {väliaineen tiheys}
g = \text {putoamiskiihtyvyys}
V = \text {väliaineessa oleva tilavuus}
(\rho V = m \rightarrow N = mg = G)
!
Nosteen laki
- Noste on kappaleen ylä- ja alapintojen välinen paine-erovoima
N=F_2-F_1
N=p_2A-p_1A
N=(p_0+\rho gh_2)A-(p_0+\rho gh_1)A
N=p_0A+\rho gh_2A-p_0A-\rho gh_1A
N=\rho gh_2A-\rho gh_1A
N=\rho g(h_2-h_1)A
N=\rho gV
Ilmanpaine
Hydrostaattinen paine
Väliaineen vastus
-
Ilmanvastus on voima, joka syntyy ilmassa liikkuvan kappaleen vuorovaikuttaessa ilman molekyylien kanssa
- Vastaava voima kohdistuu kappaleeseen myös nesteessä, jolloin liikettä vastustavasta voimasta käytetään yleisnimeä väliaineen vastus
- Putoavan kappaleen nopeus kasvaa vain tiettyyn rajanopeuteen asti
- Putoamisen alussa kiihtyvyys on suurimmillaan
- Liikkeen edetessä nopeus suurenee, jolloin ilmanvastus kasvaa
- Lopulta ilmanvastus on yhtä suuri kuin kappaleen paino kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on nolla ja se putoaa tasaisella nopeudella
(F_i \sim v^2)
Vääntövaikutus eli momentti
- Kappaleen pyörimisen saa aikaan momentti
- Voiman momentti on voiman vääntövaikutusta kuvaava suure
- Momentti liittyy erilaisiin vipuihin, suuriin koneisiin ja voimansiirtoon
-
Momentin takia kappale voi kiertyä kiertoakselinsa suhteen
- Vääntövaikutus täytyy ottaa huomioon vain tilanteissa, joissa kappaleen kääntyminen on sekä mahdollista että kiinnostavaa
-
Tasaisesti koko kappaleeseen kohdistuva voima ei aiheuta momenttia
- Voima pyrkii siirtämään kappaleen jokaista pistettä ja siten saa kappaleen liikkumaan asentoaan muuttamatta
Voima F ei aiheuta momenttia
Voima F aiheuttaa momentin
Momentin suuruus
- Momentti riippuu vääntävästä voimasta ja sen etäisyydestä kiertoakseliin
- Voiman momentti on voiman ja kiertoakselin ja voiman välisen vaikutussuoran kohtisuoran etäisyyden tulo
-
Momentin etumerkki ilmaisee vääntövaikutuksen kiertosuunnan
- Yleensä sovitaan, että momentin kiertovaikutus myötäpäivään on negatiivinen ja vastapäivään positiivinen
\overline M = \overline F \times \overline r
[M]=[F][r]= \text N \cdot \text m = \text {Nm}
F \perp r
M = Fr
Newtonin II laki ja momenttiehto
-
Kappale on tasapainossa etenemisen ja pyörimisen suhteen, jos
- kappaleeseen kohdistuvien voimien summa on nolla
- kappaleeseen kohdistuvien momenttien summa on nolla
\Sigma \overline{F}=0
\Sigma M=0
Newton II
Momenttiehto
Statiikan tehtävän ratkaisu
- Piirrä voimakuvio.
- Valitse momenttipiste siten, että mahdollisimman moni momentti on nolla.
- Määritä momenttien positiiviset ja negatiiviset suunnat.
- Jaa tarvittaessa voimat komponentteihin ja kirjoita liikeyhtälöt voimille sekä momenteille (momenttiehto).
- Ratkaise halutut suureet.
- Pohdi onko ratkaisu mielekäs (merkkivirheet mahdollisia pitkissä laskuissa)!
Voiman tekemä työ
- Kappaletta siirrettäessä voima tekee työn
- Voiman tekemä työ muuttaa energiaa muodosta toiseen tai siirtää sitä kappaleelta toiselle
- Työ ei ole energiamuoto, vaan se kuvaa energian muutosta
- Jos voiman suuruus muuttuu siirtymän aikana, malli ei kuvaa tilannetta
- Työ voidaan tällöin määrittää keskimääräisen voiman avulla
W=Fs
[W] = [F][s] = \text N \cdot \text m = \text {kg} \cdot \text m/ \text s^2 \cdot \text m = \text J
W=Fs
s = \text {matka}
F = \text {voima}
Työ kuvaajan avulla
- Työ on voiman ja matkan tulo
- Työn suuruus saadaan (s, F)-kuvaajasta graafisesti integroimalla
- Lasketaan vaaka-akselin ja käyrän väliin jäävä pinta-ala
Liike-energia
- Kappaleen liikkeeseen varastoitunut energia on liike-energiaa (kineettistä energiaa)
- Liike-energian muuttamiseksi on tehtävä työtä
W = \Delta E_k
E_k
- Liike-energian määrä on
E_k = \frac{1}{2}mv^2
v = \text {kappaleen nopeus}
m = \text {kappaleen massa}
E_k
Työ muuttaa liike-energiaa
- Voiman muuttaessa kappaleen liikettä sen tekemä työ on yhtä suuri kuin kappaleen liike-energian muutos
- Voiman tekemä työ voi kasvattaa tai pienentää kappaleen liike-energiaa
- Voima liikkeen suuntainen: liike-energia kasvaa
- Voima liikettä vastaan: liike-energia pienenee
- Jos voima ei ole liikkeen suuntainen, voima ei tee työtä
- Työ-energiaperiaate: (kokonais)voiman tekemä työ W muuttaa kappaleen liike-energiaa
E_{k_{alku}} \pm W = E_{k_{loppu}}
Painon potentiaalienergia
- Painovoima saa kappaleet putoamaan, ja toisaalta se myös vastustaa kappaleiden nostamista
- Jotta kappale nousee ylöspäin, on kappaleeseen tehtävä työtä painovoimaa vastaan yhtä suurella nostovoimalla
- Kappaleen liike-energia ei nostossa muutu
- Tehty työ on
- Tehty työ varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi
W = Fs = Gh = mgh
m = \text {kappaleen massa}
h = \text {kappaleen siirtymä pystysuunnassa (korkeus nollatasoon nähden)}
g = \text {putoamiskiihtyvyys}
W = E_p = mgh
Konservatiivinen voima
- Voimaa kutsutaan konservatiiviseksi voimaksi, kun sitä vastaan tehty työ varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi
- Konservatiivinen voima pyrkii palauttamaan kappaleen tiettyyn paikkaan tai tietylle korkeudelle
| Konservatiivisia | Ei-konservatiivisia |
|---|---|
| Painovoima | Kitkavoima |
| Jousivoima | Ilmanvastus |
| Sähköinen voima | Työntö- / vetovoima |
Mekaaninen energia
- Kaikissa luonnonilmiöissä energia säilyy, mutta se voi muuttaa muotoaan
- Mekaniikassa tarkastellaan rajattuja systeemejä ja niiden energiaa
- Kappaleen energia voi muuttua ulkoisen voiman vaikutuksesta
- Tehty työ voi muuttaa sekä kappaleen liike- että potentiaalienergiaa
- Kappaleen liike- ja potentiaalienergian summaa kutsutaan mekaaniseksi energiaksi
E_{mek} = E_k + E_p
mekaaninen energia
=
liike-energia
+
potentiaali-energia
Energiaperiaate
- Työn ja mekaanisen energian yhteys ilmaistaan työ-energiaperiaatteena
- Työ on positiivinen, jos se kasvattaa systeemin mekaanista energiaa
- Ja vastaavasti negatiivinen, jos se pienentää mekaanista energiaa
- Energiaperiaatetta soveltaessa konservatiivisten voimien tekemää työtä ei tarvitse ottaa huomioon
- Konservatiivisten voimien tekemä työ näkyy potentiaalienergian muutoksena
E_{mek_{alussa}} \pm W = E_{mek_{lopussa}}
Mekaanisen energian säilymislaki
- Jos kaikki työtä tekevät voimat ovat konservatiivisia, systeemin mekaaninen energia on alku- ja lopputilanteessa yhtä suuri
- Systeemin mekaaninen energia voi kuitenkin muuttua muodosta toiseen
- Potentiaalienergiasta liike-energiaksi tai liike-energiasta potentiaalienergiaksi
- Energian muutos tapahtuu potentiaali- ja liike-energioiden välillä, mutta niiden summa säilyy
- Tätä kutsutaan mekaanisen energian säilymislaiksi
E_{k_{alussa}} + E_{p_{alussa}} = E_{k_{lopussa}} + E_{p_{lopussa}}
E_{mek_{alussa}} = E_{mek_{lopussa}}
\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2
Liikemäärän säilyminen
-
Kokonaisliikemäärä ei muutu vuorovaikutustapahtumassa
- Vuorovaikuttavien kappaleiden liikemäärien summa on sama ennen ja jälkeen vuorovaikutustapahtuman
- Nopeus on vektorisuure, joten nopeuksien suunnat pitää huomioida etumerkeissä (tai sijoituksissa)!
\overline p_{alku} = \overline p_{loppu}
\overline p_{A1} + \overline p_{B1} = \overline p_{A2} + \overline p_{B2}
m_{A} \overline v_{A1} + m_{B} \overline v_{B1} = m_{A} \overline v_{A2} + m_{B} \overline v_{B2}
Impulssiperiaate
- Kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima muuttaa kappaleen nopeutta
- Nopeuden muutos riippuu voiman vaikutusajasta
- Kokonaisvoima antaa kappaleelle impulssin, joka on voiman ja sen vaikutusajan tulo
\Delta \overline p = \overline I = \overline F \Delta t
\overline F = \frac{\Delta \overline p}{\Delta t}
\Delta \overline p = \overline F \Delta t
m \Delta \overline v = \overline F \Delta t
\overline F = \frac{\Delta \overline p}{\Delta t}=\frac{m\Delta \overline v}{\Delta t} = m \overline a
Impulssiperiaatteesta saadaan Newtonin II laki:
Impulssi kuvaajan avulla
- Impulssin on voiman ja sen vaikutusajan tulo
- Impulssi saadaan (t, F)-kuvaajasta graafisesti integroimalla
- Lasketaan siis käyrän ja vaaka-akselin väliin jäävä pinta-ala
Liike-energia törmäyksissä
- Liikemäärä säilyy kaikissa systeemeissä, joihin ei vaikuta ulkoisia voimia
- Sen sijaan liike-energian säilyminen tai muuttuminen törmäyksessä riippuu törmäävien kappaleiden ominaisuuksista
-
Kimmoisassa törmäyksessä liike-energia säilyy
- Kappaleiden muodonmuutokset palautuvat
- Täysin kimmottomassa törmäyksessä liike-energia ei säily
- Liike-energia muuttuu lämmöksi ja kappaleen muodonmuutoksiin
- Kimmottomassa törmäyksessä kappaleet voivat takertua toisiinsa
Mekaniikan ongelmien ratkaiseminen
- Mekaniikan tehtäviä voidaan ratkoa (ja perustella!) keskeisten periaatteiden avulla
- Newtonin II laki
- Energiaperiaate
- Impulssiperiaate
-
Sopivan periaatteen valinta riippuu tilanteessa ratkaistavista suureista ja tunnetuista alkuarvoista
- Usein yksi näistä on tilanteen ratkaisemiseksi hyödytön
- Kahdesta käyttökelpoisesta tavasta ongelma ratkeaa helpommin toisella
- Lisäksi tehtävässä voidaan tarvita kinematiikan lausekkeita
Keskeiset periaatteet
| Newtonin II laki | Energiaperiaate | Impulssiperiaate | |
|---|---|---|---|
| Matemaattinen malli | |||
| Periaatteen erikoistapaus | |||
| Sovellus-tilanteita | 1) Käsitellään kiihtyvyyksiä ja/tai aikoja 2) Voima on vakio |
1) Vertaillaan alku- ja lopputilanteita (ajalla ei väliä) 2) Paikan suhteen muuttuva voima |
1) Lyhytkestoinen vuorovaikutus 2) Ajan suhteen muuttuva voima |
\Sigma \overline{F} = m \overline{a}
\Delta \overline{p} = \overline{I} = \overline{F} \Delta t
E_1 \pm W = E_2
\Sigma \overline{F} = 0
E_{{mek}_{alussa}} = E_{{mek}_{lopussa}}
\overline{p}_1 = \overline{p}_2
Mekaniikan kertaus (FY04)
By pauliinak
Mekaniikan kertaus (FY04)
FY10 Kertausta ylioppilaskokeeseen
